第8章 第3讲 圆的方程（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P347] A级[基础过关] 1．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　　 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4 解析　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案　A 2．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 解析　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D. 答案　D 3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为(　　) A．(1，－1) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－2，1) 解析　由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝＝1，y＝＝－2.故所求圆心坐标为(1，－2). 答案　C 4．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 解析　法一　令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋y＋k2－4k－4＝0， 因为存在实数y，则Δ≥0，即2－4×2≥0， 化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3， 故x－y 的最大值是3＋1. 法二　x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得2＋2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈， 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1， ∵θ∈，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1. 法三　由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3， 解得1－3≤k≤1＋3. 故x－y的最大值是1＋3. 故选C. 答案　C 5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 解析　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内． 答案　ABD 6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． 解析　由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合题意；当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25.∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. 答案　(－2，－4)　5 7．已知等腰△ABC的顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为____________________． 解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)). 答案　x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)) 8．已知动圆C经过点A(2，－3)和B(－2，－5). (1)当圆C面积最小时，求圆C的方程； (2)若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程． 解析　(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，所以圆心C(0，－4)，半径r＝|AB|＝， 所以所求圆C的方程为x2＋(y＋4)2＝5. (2)设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 根据已知条件得 解得 所以所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. B级[能力提升] 9．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　) A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上 B．圆M的面积的最大值为50π C．圆M的半径的最小值为1 D．满足条件的所有圆M的半径之积为8 解析　∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝＝|a|，∵圆M被x轴截得的弦长为2，∴2＝2＝2，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；当a＝1时，圆M的半径最小，为，故C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，故D错误． 答案　AB 10．(多选)在平面直角坐标系内，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则在下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A．||＝|| B．||＝2|| C．·＝0 D．·＝2 解析　设点C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)， 对于A，由||＝||，得＝，整理，得x＝0，则点C的轨迹为一条直线，所以A不符合题意；对于B，由||＝2||，知||2＝4||2，则(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理，得x2＋y2－x＋1＝0，则点C的轨迹为一个圆，所以B符合题意；对于C，由·＝0，知(x＋1)(x－1)＋y2＝0，整理，得x2＋y2＝1，则点C的轨迹为一个圆，所以C符合题意；对于D，由·＝2，知(x＋1)(x－1)＋y2＝2，整理，得x2＋y2＝3，则点C的轨迹为一个圆，所以D符合题意．综上可知，选BCD. 答案　BCD 11．已知三角形的三个顶点为O(0，0)，M(6，0)，N(8，4)，过点(3，5)作△OMN的外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BC，则四边形ABCD的面积为________． 解析　设过点O，M，N的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，根据题意得解得因此圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25，则圆心坐标为(3，4)，半径为5，所以最长的弦|AC|＝10，最短的弦|BD|＝2＝4，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为×10×4＝20. 答案　20 12．已知P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点，A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________． 解析　设点P(x，y)，O为坐标原点，圆心为C(3，4)，半径为r＝1，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|PO|2＋2， 因为(0－3)2＋(0－4)2＞1，所以，原点O在圆C外，且|OC|＝＝5，如图所示， 则|OP|≥|OC|－r＝5－1＝4，当且仅当点P为线段OC与圆C的交点时，等号成立． 所以|PA|2＋|PB|2＝2|PO|2＋2≥2×42＋2＝34. 答案　34 13．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求点M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 解析　圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0，4)，半径为4，点P在圆C内部． (1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C).线段PC中点为(1，3)，|PC|＝ ＝，故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，y≠2且x≠0，y≠4). 当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2，2)或(0，4). 综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆． 由题意知O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM， 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－， 故l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0. 又易得|OM|＝|OP|＝2，点O到l的距离为＝，|PM|＝2＝， 所以△POM的面积为××＝. C级[拓广探索] 14．如图，A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法错误的是(　　) A.曲线W与x轴围成区域的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点) C．所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D．与的公切线方程为x＋y＝＋1 解析　如图所示，连接BC交y轴于点G，过点C作CK⊥x轴于点K，过点B作BL⊥x轴于点L，则曲线W和x轴围成区域的面积S＝π＋2，故A错误； 曲线W上有A，B，C，D，M，共5个整点，其中M(0，2)，故B正确；所在圆的圆心为(0，1)，半径为1，故所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，C正确；设与的公切线方程为y＝kx＋b，根据图象知k＜0，b＞0，则＝1，＝1，解得k＝－1，b＝＋1，即x＋y＝＋1，D正确．故选A. 答案　A 15．已知圆M经过函数y＝x2－6x＋5的图象与坐标轴的3个交点． (1)求圆M的标准方程； (2)若点P为圆N：x2＋(y－2)2＝1上一动点，点Q为圆M上一动点，点A在直线y＝－2上运动，求|AP|＋|AQ|的最小值，并求此时点A的横坐标． 解析　(1)因为函数y＝x2－6x＋5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0，5)，C(1，0)，D(5，0)，根据题意，设圆M的圆心坐标为M(3，b)， 由|MB|＝|MC|，可得 ＝， 解得b＝3，则|MC|＝， 故圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝13. (2)设圆N关于直线y＝－2对称的圆为圆E， 则圆E的方程为x2＋(y＋6)2＝1. 设A(x，－2)，则当A，E，M三点共线时，|AP|＋|AQ|取得最小值，且|AP|＋|AQ|的最小值为|ME|－－1＝－－1＝3－－1， 此时可得kME＝kAE，即＝，解得x＝，故点A的横坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$