第8章 第2讲 两直线的位置关系（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P346] A级[基础过关] 1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a＝(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．2 C．－1 D．1 解析　直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2，所以＝－2， 解得a＝－1，经检验符合题意． 答案　C 2．已知点A(1，2)与B(3，3)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A．2，－ B．－2，－ C．－2， D．2， 解析　易知kAB＝，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.易知AB的中点坐标为，代入2x＋y＋b＝0，得b＝－.故选A. 答案　A 3．已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0 解析　解方程组得所以两直线的交点为(1，1). 因为直线l的斜率为－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 答案　C 4．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　) A．3 B．0 C．－1 D．1 解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2，1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·＝－1，解得m＝－1，故选C. 答案　C 5．一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0 C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0 解析　设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P′(a，b)， 得解得 故反射光线过点P′(2，－4)与点(2，3)， 则反射光线所在直线的方程为x－2＝0. 答案　C 6．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝⇒|c1－c2|＝2. 答案　B 7．(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　　) A．若l1∥l2，则a＝6 B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为 C．若l1⊥l2，则a＝ D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交 解析　若l1∥l2，则4a＝3×8，∴a＝6，故A正确； 由A知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0， 故两条平行直线之间的距离为＝，故B不正确； 若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，∴a＝－，故C不正确； 由A知，当a＝6时，l1∥l2， ∴若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确． 答案　AD 8．(多选)已知直线l过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0 解析　由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点， 当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4， 所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0； 当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时， l的斜率为＝－， 此时l的方程是y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0. 答案　AC 9．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－6y＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是________． 解析　由x－6y＋12＝0可得直线与y轴的交点坐标为(0，2)，将点(0，2)代入2x＋3y－k＝0可得k＝6. 答案　6 10．直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________． 解析　由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)，直线l2的斜率为，所以－＝，解得a＝－，则直线l1：3x－4y－6＝0，直线l2：3x－4y－4＝0，两直线间的距离d＝＝. 答案　－　 11．直线2x＋4y－5＝0关于直线x＝2对称的直线的方程为____________________． 解析　设直线2x＋4y－5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线x＝2对称的点为Q(x，y)， 则所以代入2x0＋4y0－5＝0，得2(4－x)＋4y－5＝0，整理得2x－4y－3＝0. 答案　2x－4y－3＝0 12．若点M(a，b)为直线x－y＋3＝0上的动点，则a2＋(b＋1)2的最小值为________． 解析　a2＋(b＋1)2可化为(a－0)2＋[b－(－1)]2，表示点M(a，b)到点(0，－1)的距离的平方．因为点M(a，b)为直线x－y＋3＝0上的动点，所以点M到点(0，－1)的距离的最小值为点(0，－1)到直线x－y＋3＝0的距离，为＝2，所以a2＋(b＋1)2的最小值为4. 答案　4 B级[能力提升] 13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，1)，且|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．2x＋4y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－3＝0 D．4x－2y－3＝0 解析　由|AC|＝|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，因为AB的中点为M，斜率kAB＝－，所以AB垂直平分线的斜率k＝2.因此△ABC的欧拉线的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0. 答案　D 14．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意一点，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析　根据题意画出图形，如图所示． 直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，则1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2. 答案　A 15．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，内角B，C的角平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　) A．y＝3x＋5 B．y＝2x＋3 C．y＝2x＋5 D．y＝－＋ 解析　A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C. 答案　C 16．若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为____________________． 解析　因为直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0平行， 所以n＝－2×2＝－4. 又l1与l2之间的距离是2， 所以＝2，解得m＝7， 因此直线l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0. 设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x－2y＋c＝0(c≠7)， 则＝，解得c＝－13， 故所求直线方程为x－2y－13＝0. 答案　x－2y－13＝0 C级[拓广探索] 17．已知直线l：x－2y－8＝0和A(－2，0)，B(2，4)两点，若直线l上存在点M使得|MA|＋|MB|最小，则点M的坐标为________． 解析　如图，作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B， 则|MA|＝|MA′|，所以|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|，当A′，B，M三点共线时取等号， 即A′，B，M三点共线时，|MA|＋|MB|最小． 设A′(a，b)，则 解得 即A′(2，－8)，因为B(2，4)，所以直线A′B的方程为x＝2. 由解得即M(2，－3). 答案　(2，－3) 18．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________． 解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b，3). ∵AC⊥AB，∴·＝0， 即ab－6＝0，∴ab＝6，b＝. Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥×＝6(当且仅当a2＝4时等号成立). ∴△ABC的面积的最小值为6. 答案　6 学科网（北京）股份有限公司 $$