第8章 第1讲 直线的方程（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P345] A级[基础过关] 1．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　设直线l的斜率为k，则k＝－＝.故选A. 答案　A 2．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．90° D．180° 解析　由题意知直线过点(－2，0)，(0，2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°. 答案　A 3．已知直线l经过点(0，1)，其倾斜角与直线x－4y＋1＝0的倾斜角互补，则直线l的方程为(　　) A．x＋4y－4＝0 B．4x＋y－1＝0 C．x＋4y＋4＝0 D．4x＋y＋1＝0 解析　因为直线x－4y＋1＝0的斜率为，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(0，1)，所以直线l的方程为y－1＝－x，即x＋4y－4＝0. 答案　A 4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　) 解析　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0，选项B符合． 答案　B 5．若点P(a＋b，ab)在第二象限，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意可得a＋b＜0，ab＞0，因此a，b均为负数，由直线的方程bx＋ay－ab＝0可得直线的斜率k＝－＜0，在y轴上的截距为－＝b＜0，所以直线不经过第一象限． 答案　A 6．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l与线段AB恒相交，所以－2≤k≤. 答案　D 7．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析　A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3，2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误． 答案　ABC 8．(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 解析　当直线经过原点时，斜率为k＝＝2， 所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线不过原点时， 设所求的直线方程为x±y＝a， 把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a， 求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 答案　ABC 9．已知直线l经过点P(0，1)且一个方向向量为(2，1)，则直线l的方程为____________________． 解析　由题意得，直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x－0)，即x－2y＋2＝0. 答案　x－2y＋2＝0 10．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为____________________． 解析　由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3). 即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 答案　x－y＋1＝0或x＋y－7＝0 11．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________． 解析　由2x－3y＋12＝0的斜率为，在y轴上的截距为4可知，所求直线l的斜率为，在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0. 答案　x－3y＋24＝0 12．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为____________________． 解析　在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0).因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0. 答案　x＝－或x－y＋＝0 B级[能力提升] 13．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 解析　易知A(－1，0). ∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5，0). ∵PA，PB关于直线x＝2对称， ∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 答案　A 14．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　) A．1 B． C．－ D．－3 解析　设Q(3，0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所以的取值范围是，故的最大值为－.故选C. 答案　C 15．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是____________________． 解析　当α∈时，k＝tan α∈； 当α∈时，k＝tan α∈[－，0). 综上得k∈[－，0)∪. 答案　[－，0)∪ 16．若ab＞0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________． 解析　根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab＞0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时等号成立，即ab的最小值为16. 答案　16 C级[拓广探索] 17．过点P(－1，0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是___________________． 解析　直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝，则β＝，因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或，当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，故直线为x－y＋1＝0. 综上，所求直线为x＋1＝0或x－y＋1＝0. 答案　x＋1＝0或x－y＋1＝0 18．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是____________________． 解析　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan (180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C. 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 答案　(3＋)x－2y－3－＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$