第7章 第6讲 第1课时 空间向量的应用(一)（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P339] A级[基础过关] 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－1，0，－1)，点A(3，3，0)在平面α内，则平面外一点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．1 解析　由题得＝(－5，－2，4)，所以点P到平面α的距离d＝＝＝＝，故选B. 答案　B 2．已知直线l过点P(1，2，1)，且方向向量为m＝(1，0，－1)，则点A(1，－1，－1)到l的距离为(　　) A．2 B． C．2 D．3 解析　因为直线l的一个方向向量为m＝(1，0，－1)，取直线l的一个单位方向向量为μ＝＝. 又A(1，－1，－1)为直线外一点，且直线l过点P(1，2，1)，所以＝(0，－3，－2)， 所以·μ＝(0，－3，－2)·＝，||＝. 所以点A到直线l的距离为d＝＝＝.故选B. 答案　B 3．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0).设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，得n＝(1，3，－4)，又平面α∥平面β，所以平面α与平面β间的距离d＝＝＝，故选A. 答案　A 4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为BB1上的一点，且A1C⊥EF，则＝(　　) A．10 B．12 C．15 D．20 解析　取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，C，A1，所以＝. 设F(0≤λ≤2)，则＝.由A1C⊥EF，得·＝－2λ＝0，解得λ＝，故＝＝15.故选C. 答案　C 5．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离是 C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，所以＝(－1，0，0)，＝. 设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝. 故点A到直线BE的距离d1＝||sinθ＝1×＝，故A错误； 易知＝＝，平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确；＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1). 所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝. 因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为，故C正确；因为＝＋＋，＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，所以＝，则＝，所以点P到直线AB的距离d4＝＝＝，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 6．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________． 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c. 因此＝＋，∴，，共面． ∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 答案　VA∥平面PMN 7．在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________． 解析　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，1，0)，所以＝(2，2，－2)，＝(0，2，0).设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x＝1，得n＝(1，0，1).因为＝(－2，1，0)，所以点D到平面PBC的距离d＝＝＝. 答案　 8．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． (1)证明：D1E⊥A1D； (2)当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离． (1)证明　以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AE＝x，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0). 所以＝(1，x，－1)，＝(－1，0，－1)， 因为·＝0，所以⊥，即D1E⊥A1D. (2)解析　因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，从而＝(1，1，－1)，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)， 设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则 即得从而可取n＝(2，1，2)， 所以点E到平面ACD1的距离d＝＝＝. B级[能力提升] 9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB. (1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F. 所以＝，＝(0，a，0). 因为·＝0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)解析　设G(x，0，z)， 则＝，＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若使GF⊥平面PCB，则需·＝0，且·＝0，由·＝·(a，0，0)＝a＝0，得x＝， 由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0. 所以G点坐标为， 即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB. 10．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 解析　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，＝，＝，＝. (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝. 所以点B到直线AC1的距离为＝＝. (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，又EC1⊂平面AEC1，FC⊄平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则所以所以取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝. 即直线FC到平面AEC1的距离为. C级[拓广探索] 11.如图所示的多面体是长方体被平面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求点C到平面AEC1F的距离； (2)设过点B且平行于平面AEC1F的平面为α，求平面AEC1F与平面α之间的距离． 解析　(1)以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)， 设F(0，0，z)，因为平面ADF∥平面EBCC1，平面ADF∩平面AEC1F＝AF，平面EBCC1∩平面AEC1F＝C1E，所以AF∥C1E，同理可得AE∥FC1，所以四边形AEC1F为平行四边形，则＝， 即(－2，0，z)＝(－2，0，2)，所以z＝2，即F(0，0，2)，则＝(－2，0，2)，＝(0，4，1)， 设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1， 可得y＝－，z＝1，所以n＝， 因为＝(－2，4，0)，所以点C到平面AEC1F的距离为＝＝. (2)由(1)知平面AEC1F的一个法向量为n＝， 又由＝(0，0，1)，可得点B到平面AEC1F的距离为＝＝， 因为过点B且平行于平面AEC1F的平面为α，所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离，即平面AEC1F与平面α之间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$