6.3.2 二项式系数的性质-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 理解二项式系数的性质. 2. 会用赋值法求展开式系数的和． 通过本节课的学习，要求能理解二项式系数的性质，掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和. 课前预习 预习二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 知识讲解 知识点01二项式定理的性质 1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即，，…， 2、增减性与最大值 当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小； 知识点02巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题 1、求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 2、求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 知识点03二项式系数的最值与项的系数的最值问题 1、二项式系数的最值问题 如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项， 它们的二项式系数和相等且最大； 2、项的系数的最值问题 求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可 知识点04应用二项式定理解决整除问题的方法 用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。 【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。 知识点05杨辉三角 当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式： (a＋b)1………………………………1 1 (a＋b)2……………………………1 2 1 (a＋b)3…………………………1 3 3 1 (a＋b)4………………………1 4 6 4 1 (a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1 (a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1 … …上表称为“杨辉三角”. 从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点： （1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； （2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 【大招总结】 大招1 二项展开式各项的系数和问题 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 大招2二项式系数性质的应用 (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项． 典型例题 题型01求指定项的二项式系数 【例1】的展开式中x2y4的系数为（    ） A．192 B．240 C．432 D．256 【答案】C 【