押天津卷第17题（空间向量与立体几何）-备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）

押天津卷17题 空间向量与立体几何 考点 2年考题 考情分析 空间向量与立体几何 2023年天津卷第17题 2022年天津卷第17题 最近两年对于立体几何与空间向量的考察比较简单，主要包括线面平行的判定，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角，以及23年首次考察了点到平面的距离公式。预测24年高考不会有大的变化，仍然考察线面平行判定，以及空间中夹角和距离的运算。整体难度较低。 题型一立体几何与空间向量 17．（15分）（2023•天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 17．（15分）（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 1．异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 常用结论 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是. 4．点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 5．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝. 1．如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 2．如图所示，在三棱柱中，平面，，，是棱的中点，为棱中点．是的延长线与的延长线的交点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在四棱锥中，平面，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求点到平面的距离； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 4．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点，点是线段上一点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅲ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度． 5．在四棱台中，底面是正方形，且侧棱垂直于底面，，，分别是与的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 6．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为． （1）在棱上找一点，使得面面，并给出证明； （2）当时，求点到面的距离； （3）若，求直线与面所成角的正弦值． 7．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，．点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 8．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 9．如图，且，，且，且，平面，． （Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的正弦值； （Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面的夹角的余弦值． 11．如图，平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 12．如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 13．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）点在棱上，且直线与底