押天津卷第14～15题（平面向量、函数性质）-备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）

押天津卷14~15题 平面向量线性运算、函数性质综合应用 考点 2年考题 考情分析 平面向量 线性运算 2023年天津卷第14题 2022年天津卷第14题 近两年高考对于平面向量的线性运算考察难度较大，主要考察平面向量基本定理以及平面向量的数量积运算，而且近两年高考对于数量积运算考察时都结合了基本不等式的内容。整体来看综合性较强，难度较大，可以预测24年高考很可能仍会结合基本不等式和数量积运算来考察。 函数性质 综合应用 2023年天津卷第15题 2022年天津卷第15题 高考对于函数性质的综合考察难度较大，需要考生熟练掌握函数图像与性质，常考察分段函数，零点问题，参数范围问题，考查形式较多，并在解题过程中大多涉及数学中重要的分类讨论思想，整体综合性较强，属于填空压轴题。 题型一平面向量线性运算 14．（5分）（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　　；若，则的最大值为 　　． 14．（5分）（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 　　，若，则的最大值为 　　． 一、平面向量共线定理 已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 四、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 五.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 六.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 1．平面四边形中，，为的中点，用和表示　　；若，则的最小值为 　　． 2．在平行四边形中、是线段的中点，点满足，若设，，则可用，表示为 　　；点是线段上一点，且．若，则的最大值为 　　． 3．如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则　　；若的面积为，则的最小值为 　　． 4．在中，是边的中点，，，，则　设为平面上一点，且，其中，则的最小值为 　　． 5．已知平行四边形的面积为，，且．若为线段上的动点，且，则实数的值为 　　；的最小值为 　　． 6．如图，在中