专题8.4 空间直线、平面的平行（4知识点+12考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题8.4 空间直线、平面的平行 知识点一 直线与平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 2.特别提醒：应用“判定定理”时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须同时具备，缺一不可. 知识点二 面面平行的判定与性质 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 知识点三 常用结论 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等． 6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点四 判断或证明线面平行的常用方法 1．利用线面平行的定义，一般用反证法； 2．利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；) 3．利用面面平行的性质定理 （1）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； （2）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 考点01 与线、面平行相关命题的判定 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知为三个不同的平面，为三条不同的直线，若，，，，则下列结论正确的是（    ） A．与相交 B．与相交 C． D．与相交 【总结提升】 直线、平面间平行的判定方法 (1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断． (4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 考点02 直线与平面平行的判定与证明 【典例3】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面．    【规律方法】 1.证明线面平行的常用方法与思路 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． 2.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行． 考点03 补全线面平行的条件 【典例5】（22-23高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【典例6】（2023高一·全国·专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 考点04 直线与平面平行的性质及应用 【典例7】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF. 【典例8】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，点分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面将四棱锥分成体积为和的两部分（其中），求的值． 【总结提升】 1.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 考点05 判断线段比例或点的位