第15讲 事件的相互独立性（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第15讲 事件的相互独立性 【人教A版2019】 ·模块一 事件的相互独立性 ·模块二 课后作业 模块一 事件的相互独立性 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【考点1 独立事件的判断】 【例1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）对于事件，下列命题不正确的是（    ） A．如果互斥，那么与也互斥 B．如果对立，那么与也对立 C．如果独立，那么与也独立 D．如果不独立，那么与也不独立 【例1.2】（23-24高一下·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（    ） A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 【变式1.1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式1.2】（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【考点2 独立事件的乘法公式】 【例2.1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是0.6，若要以0.97以上的概率击中目标，则至少需要的人数是（    ）