微专题16 利用传统方法解决二面角问题-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题16 利用传统方法解决二面角问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：三垂线法 题型三：射影面积法 题型四：垂面法 题型五：补棱法 【方法技巧与总结】 二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 【典型例题】 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高一·江西宜春·期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的余弦值； 【典例1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．    (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 【变式1-1】（2024·高一·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：    (1)求二面角的大小． (2)求二面角的大小. (3)求二面角的大小的正弦值． 题型二：三垂线法 【典例2-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 【典例2-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，且有，，，为中点．    (1)证明：面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【变式2-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 题型三：射影面积法 【典例3-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小． 【典例3-2】（2024·新疆和田·高一校考期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． (1)证明：AB⊥平面PAD； (2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【变式3-1】（2024·高一课时练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________． 题型四：垂面法 【典例4-1】（2024·高一·云南玉溪·期末）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，平面平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)求二面角的余弦值． 【典例4-2】（2024·高一·安徽芜湖·期末）如图，在三棱台中，，，，．    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 题型五：补棱法 【典例5-1】（2024·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 【典例5-2】（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面. （1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”； （2）如图，已知，垂足为，，垂足为，. （i）证明：平面平面； （ii）设平面与平面交线为