第六章 实 数培优讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实 数 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 无理数 了解无理数的概念 ★ 能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围 ★★ 平方根、算术平方根 了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 ★ 会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根 ★★ 立方根 了解立方根的概念，会用根号表示实数的立方根 ★ 会用立方运算的方法，求某些数的立方根 ★★ 实数 了解实数的概念 ★ 会进行简单的实数运算 ★★ 二、核心纲要 1.算术平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根. (2)表示：a的算术平方根用符号表示为 读作“根号a”，a 叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0. 注：算术平方根具有双重非负性，即 2.平方根 (1)定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，若 则x叫做a的平方根. (2)表示：一个非负数a的平方根用符号表示为“± ”. (3)性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3.开平方是指求一个非负数的平方根的运算 注：开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根. 4.平方根的相关结论 (1)当被开方数扩大(或缩小)n²倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍( (2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： (3)若一个非负数a介于另外两个非负数a₁、a₂之间，它的算术平方根介于 之间，即当 时，则 利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围. 5.立方根 (1)定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若 则x叫做a的立方根. (2)表示：一个数a 的立方根用符号表示为“ 其中“3”叫做根指数，不能省略., 读作“三次根号a”. (3)性质：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0. 6.开立方是指求一个数的立方根的运算 注：开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根. 7.立方根的相关结论 (1)当被开方数扩大(或缩小)n³倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n(n≥0)倍. (3)若一个数a介于另外两个数a₁、a₂ 之间，它的立方根介于 和 之间，即当 时，则 利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围. 8.实数 (1)无理数：无限不循环小数叫做无理数. (2)有理数和无理数统称为实数. (3)实数的分类 (4)实数与数轴上的点是一一对应的. 本节重点讲解：一个对应(实数与数轴上的点一一对应)，两种表示，两个运算，四个概念(平方根、算术平方根、立方根和实数). 三、全能突破 基础演练 1.下列说法正确的是( ) A.2是-4的算术平方根 B.若--a有平方根，则a一定是负数 C. a²的算术平方根是a D.16的平方根是±4 2.下列各式中，正确的是( ) 3.若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的算术平方根是( ) 4.有下列说法： (1)无理数是开方开不尽的数； (2)无理数是无限不循环小数； (3)带根号的数是无理数； (4)实数包括正实数和负实数； (5)实数和数轴上的点是一一对应的. 其中说法正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(1)0的算术平方根是 ,- \sqrt {5}是 的一个平方根， 的平方根是 . (2)若某一正数的平方根是2a-1和-a+2，则这个数是 . 的绝对值的相反数是 . 7.比较大小:( 8.当x为何值时，下列各式有意义. 9.已知2a--1的平方根为±3,2a+b--1的立方根为2,求a+2b的平方根. 10