微专题15 轻松搞定线面角问题-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题15 轻松搞定线面角问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：等体积法 【方法技巧与总结】 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典型例题】 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：BC⊥平面； (3)求直线PC与平面所成角的正切值. 【典例1-2】（2024·高一·全国·期末）如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型二：等体积法 【典例2-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.    (1)证明：平面平面PAD. (2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. 【典例2-2】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【变式2-1】（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上.    (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦. 【变式2-2】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【过关测试】 1．（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面是的中点．若平面与底面所成的二面角是．    (1)求的长度； (2)求与平面所成的角． 2．（2024·高一·安徽芜湖·期末）如图，在三棱台中，，，，．    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 3．（2024·高一·江西新余·期末）如图，四棱锥的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面平面ABCD，Q，M，N分别为PB，AB，AD的中点．    (1)证明：平面PDC； (2)证明：； (3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值． 4．（2024·高一·广西南宁·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，AD＝5，棱PC的中点为N，连接DN.    (1)求证：平面PCD； (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 5．（2024·高一·吉林长春·期末）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.        (1)证明：平面平面； (2)若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值. 6．（2024·高一·广西·期末）如图，已知正方体中，分别是和的中点．      (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在正三棱柱中，D是AC的中点，．    (1)证明：直线//平面； (2)求直线与平面所成的角的余弦值， 8．（2024·高一·黑龙江·期末）在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 9．（2024·高一·安徽合肥·期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，    (1)求证： (2)求直线与平面所成角的余弦值. 10．（2024·高一·安徽六安·期末）在正三角形中，，，分别是、、边上的点，满足（如图1）．将沿折起到的位置，使平面平面，连结，（如图2）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题15 轻松搞定线面角问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：等体积法 【方法技巧与总结】 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典型例题】 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.    (1)求三棱锥的体积； (