微专题14 利用几何法求异面直线所成的角-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题14 利用几何法求异面直线所成的角 【题型归纳目录】 题型一：利用中位线平移 题型二：利用四边形平移 题型三：补体法 题型四：平移两次 【方法技巧与总结】 异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 【典型例题】 题型一：利用中位线平移 【典例1-1】（2024·高二·北京房山·期末）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ） A．60° B．45° C．30° D．90° 【典例1-2】（2024·高二·湖北·期中）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·广西玉林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，异面直线PG与DH所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【变式1-4】（2024·高一·四川成都·阶段练习）四面体中，是边长为12的等边三角形，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是 ． 题型二：利用四边形平移 【典例2-1】（2024·高二·四川达州·阶段练习）如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为 ．    题型三：补体法 【典例3-1】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为 （     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型四：平移两次 【典例4-1】（2024·高二·广东梅州·期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【典例4-2】（2024·高二·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2024·高二·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【过关测试】 1．（2024·高一·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，，点分别是线段的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ； 2．（2024·高一·河北邢台·阶段练习）如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角的正切值为 ． 3．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）如图所示，已知正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 4．（2024·河南·模拟预测）如图所示，平面平面，，四边形为正方形，且，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 5．（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 6．（2024·