微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：轨迹图形 题型二：轨迹长度 题型三：轨迹面积 【典型例题】 题型一：轨迹图形 【典例1-1】（2024·北京密云·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（    ） A．与不可能平行 B．与是异面直线 C．点的轨迹是一条线段 D．三棱锥的体积为定值 【典例1-2】（2024·高二·江西·阶段练习）四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱的中点，，若点在侧面(包括其边界)上运动，且总保持，则动点的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ） A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 【变式1-2】（2024·高一·北京西城·阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（    ） A． B． C． D． 题型二：轨迹长度 【典例2-1】（2024·四川南充·模拟预测）已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为 A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（    ）    A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6 【变式2-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、的中点，点为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点的轨迹长度为（        ） A． B． C． D． 题型三：轨迹面积 【典例3-1】（2024·高三·江西抚州·期中）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为 .    【典例3-2】（2024·高二·广东汕头·期末）已知棱长为的正方体，为棱中点，现有一只蚂蚁从点出发，在正方体表面上行走一周后再回到点，这只蚂蚁在行走过程中与平面的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 ． 【变式3-1】（2024·高三·浙江杭州·期末）在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于 ． 【过关测试】 1．（多选题）（2024·高一·安徽黄山·期末）在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．动点的轨迹所形成区域的面积是 2．（多选题）（2024·高一·广西河池·期末）如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则（    ）    A．点M的轨迹长度为 B．三棱锥的体积不为定值 C．的最小值为 D．取最小值时三棱锥的体积为 3．（多选题）（2024·高一·四川成都·期末）在棱长为4的正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，为底面上的动点，且面，则（    ） A． B．三棱锥的外接球的球心到面的距离为 C．多面体为三棱台 D．在底面上的轨迹的长度是 4．（多选题）（2024·高一·吉林长春·期末）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线AC夹角为60° B．平面截正方体所得截面的面积为18 C．若，则动点F的轨迹长度为π D．若平面，则动点F的轨迹长度为 5．（多选题）（2024·辽宁沈阳·二模）在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（    ） A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为 B．当直