1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

直线 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (第1课时：用空间向量研究距离问题) 导 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离. 思 （1）式子中的 各指什么向量？ （2）公式是如何推到出来的？ （3）如何利用向量法求两平行线之间的距离？ 问题2：类比点到直线的距离的求法，如何求平面外一点到平面的距离？ （1）式子中的 指什么向量? (2）公式式如何推导出来的? (3)在线面平行、面面平行中如何利用向量求线面距离、面面距离? 问题1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 议 （1）式子中的 各指什么向量？ （2）公式是如何推到出来的？ （3）如何利用向量法求两平行线之间的距离？ 问题2：类比点到直线的距离的求法，如何求平面外一点到平面的距离？ （1）式子中的 指什么向量? (2）公式式如何推导出来的? (3)在线面平行、面面平行中如何利用向量求线面距离、面面距离? 问题1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 展 导学案例一 评 如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 评 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 我们再来看平面外一点到平面的距离问题. 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此 评 思考2：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 评 例6.如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以， 评 (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解： (1)取，则. 所以，点到直线的距离为 评 (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)因为所以 所以平面.所以点到平面的距离即为直线 到平面的距离.设平面的法向量为，则 所以所以取则 所以，是平面的一个法向量. 又因为，所以点到平面的距离为 .即直线到平面的距离为. 评 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 练习 方法技巧： 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离. 练习 方法技巧： 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标(，内两不共线向量，平面的法向量)； (4)求距离. 课堂小结 1.点线距(线线距)： 为直线的单位方向向量，，，，，在直线上的投影向量为，则 . 2.点面距(线面距面面距)： 设平面的法向量为，，，，在直线上的投影向量为，则点到平面的距离. $$