5.2.2同角三角函数的基本关系(1)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2　三角函数的概念 5.2.2　同角三角函数的基本关系(1) 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 1. 掌握同角三角函数之间的基本关系式． 2. 能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算，初步掌握同角三角函数之间的基本关系式的应用． 活 动 方 案 内容索引 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 活动一　探究同角三角函数的基本关系式 内容索引 思考1►►► 设角α的终边与单位圆相交于点P，则点P的坐标是什么？ 【解析】 如图所示，点P的坐标是(cosα，sinα)． 内容索引 思考2►►► 在思考1的条件下，你能得到什么结论？ 【解析】 由OP＝1，得sin2α＋cos2α＝1. 思考3►►► 由正切函数的定义，你能用sinα，cosα来表示tanα吗？ 内容索引 内容索引 内容索引 活动二　已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 思考5►►► 已知角α的一个三角函数值，如何求出其余两个三角函数值？有什么注意点？ 【解析】 根据同角三角函数之间的基本关系式可求出其余两个三角函数值，注意函数值的正负． 内容索引 内容索引 活动三　根据条件求值 内容索引 (3) sin2α－cos2α＋sinαcosα. 内容索引 内容索引 (2) sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ； 内容索引 1. 已知tanα的值，求关于sinα，cosα的分式值的问题，有以下两种情况： (1) 若分子、分母中sinα，cosα的次数相同(称为齐次式)，由cosα≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα的值求解． (2) 若待求式形如asin2α＋bsinαcosα＋cos2α，注意可将分母1化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tanα的表达式，然后再求值． 2. 若已知sinα与cosα的关系式，可以先求出tanα的值再求解，也可以直接代入求解． 内容索引 检 测 反 馈 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 D 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 B 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 【答案】 ACD 内容索引 2 4 5 3 1 【答案】 cosθ 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 【解析】 tanα＝. 同角三角函数的基本关系式： sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 注意点： (1) 同角三角函数关系式强调的是“同角”，跟角的表达形式无关，如sin22α＋cos22α＝1等． (2) 在tanα＝中，α≠kπ＋(k∈Z)． (3) sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”． 思考4►►► 你能用三角函数的定义证明sin2α＋cos2α＝1，tanα＝吗？ 【解析】 设P(x，y)为角α终边上异于原点的任意一点，OP＝r. ①因为x2＋y2＝r2，且sinα＝，cosα＝， 所以sin2α＋cos2α＝1. ②当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝＝＝tanα. 例 1　已知sinα＝－，求cosα，tanα的值． 【解析】 因为sin α＜0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝. 若α是第三象限角，则cos α＜0， 所以cos α＝－＝－，tan α＝＝； 若α是第四象限角，则cos α>0， 所以cos α＝，tan α＝－. 若sin α＝，求cos α，tan α的值． 【解析】 因为sin α∈(0,1)， 所以α是第一或第二象限角． ①当α是第一象限角时， cos α＝，tan α＝＝； ②当α是第二象限角时， cos α＝－，tan α＝＝－. 例 2　已知tanα＝，求sinα，cosα的值． 【解析】 由＝tanα＝，得sinα＝cosα. 又sin2α＋cos2α＝1，所以2cos2α＋cos2α＝1， 解得cos2α＝. 又由tanα＞0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则cosα＝，sinα＝； 若α是第三象限角，则cosα＝－，sinα＝－. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求sinα，cosα的值． 【解析】 由题意，得 因为α是第二象限角， 所以sinα>0，cos