6.2.3-6.24 组合与组合数 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计 数 原 理 6.2.3~6.2.4 组合与组合数     延时符 授课人： 日期：2024年4月22日 1 学习目标  了解组合与组合数的定义，并能区别组合与组合数  通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，掌握组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数.  数学抽象、数学运算、数学建模 2 新课导入 3 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1） 【问题2】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 甲乙， 甲丙， 乙丙 【追问】 这两个问题有什么异同点？ 相同点：从3个不同的元素中取出2个 （1）问题1要考虑顺序 （2）问题2不要考虑顺序 不同点： 3 新课知识 4 组合定义 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 排列的概念与组合的概念的区别与联系 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合“与顺序无关”. 【例】 ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合. 4 新课知识 5 把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数， 符号 : 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 取出元素个数 元素总数 组合第一个字母 排列数概念 组合数概念 5 新知导入 6 【问题2】平面内有共个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 【解】(1)一条有向线段与起始点顺序有关，本题转化为从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段的条数为 (2)线段与端点的顺序无关，即与是相同的线段，由（1）知共有如下6条： . ，，，，，. 6 新知导入 7 【探究】前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 第1步，从4个元素中取出2个元素作为一组，有种不同的取法. 第2步，将取出的2个元素作全排列，共有种不同的排法. 由分步乘法计数原理，有=. 7 新课知识 8 求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理， 有. 组合数公式 这里，，并且. 规定 8 例题精讲 9 【例1】计算：(1) ；(2) ；(3)；(4) . 【解】根据组合数公式，可得 (1) ； (3)； (2) (4). 观察(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现？ 组合数重要性质： 从个元素中取出个元素，组成一组，则剩下的个元素也组成一组，两个组合是一一对应关系，组合数相同 ； 9 例题精讲 10 【例2】在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ 【解】(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽取种数为 (2)从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰有1件次品的抽法种数为 . ； 10 例题精讲 11 【例2】在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【解】(3)[解法一]从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 . 11 例题精讲 12 【例2】在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【解】(3)[解法二]抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件但是合格品的抽法种数，即 .