第9讲矩形 课件2023-2024学年浙教版数学八年级下册重难点突破

第9讲 矩形 第5章 特殊平行四边形 浙教版 八年级下册重难点突破系列 1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等，对角线互相平分． (2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等． (4)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形(当对角线所夹的锐角为60°时，其中的两个是等边三角形)． (5)矩形所在平面内任意一点到其两对角线端点的距离的平方和相等． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 3.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 4.矩形的对称性 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴． 5.矩形的面积 S＝ab(注：a为长，b为宽)． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【例1】　已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】　根据矩形的判定定理对选项逐一进行分析即可得出答案． B 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【解题过程】　对于选项A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形不一定是矩形，不符合题意； 对于选项B.AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 对于选项C.AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，不符合题意； 对于选项D.AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形不一定是矩形，不符合题意． 故选B. 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【例2】　如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为(　　) A．3 B．4 C. D． 【思路点拨】　证明△ABE≌△AOE可得，AO＝AB＝BO＝DO，在Rt△BAD中，用勾股定理即可得出AB的长． C 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【解题过程】　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO＝ AC，BO＝DO＝ BD，∴AO＝CO＝BO＝DO. ∵AE平分∠BAO，∴∠BAE＝∠OAE. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AEO＝90°. 又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AOE，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO＝DO，∴BD＝2AB. 在Rt△BAD中，AD2＋AB2＝BD2， ∴36＋AB2＝4AB2，∴AB＝ . 故选C. 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【例3】　如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠BOE＝________. 【思路点拨】　从判断△ABO，△ABE，△BOE的形状切入． 75° 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【解题过程】　∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝OB. 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°.∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°， ∴△ABO为等边三角形， ∴BO＝BA，∠ABO＝60°，∴∠OBE＝30°. 又∵△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝BA，∴BO＝BE， 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【例4】　如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10.点E为射线DC上的一个动点(不与点D重合)，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，则DE的长为(　　) A．2或18 B．3或18 C.3或2 D．2或8 【思路点拨】分两种情况：①点E在线段DC上；②点E在线段DC的延长线上，利用折叠的性质和勾股定理进行解答即可． A 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【解题过程】　分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，连结D′B，如图所示： ∵△AD′B为直角三角形，且∠D′AB，∠D′BA不可能是直角， ∴∠AD′B＝90°， 由折叠，知△AD′E≌△ADE， ∴∠AD′E＝∠D＝90°， ∴∠AD′B＋∠AD′E＝180°， ∴B，D′，E三点共线， 设DE＝D′E＝x， 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 ②当E点在线段DC的延长线上，连结D′B，如图所示： 同理可得∠AD′B＝90°，B，D′，E三点共线， 设DE＝D′E＝x， ∵AD′＝AD＝6，AB＝10， ∴BD′＝ 在Rt△BEC中，BC＝AD＝6，EC＝x－10，EB＝x－8， ∴(I－10)2＋62＝(x－8)2，解得x＝