重难点突破《第4讲一元二次方程根与系数的关系及其应用》课件2023-2024学年浙教版数学八年级下册

2024-04-21

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第4讲一元二次方程根与系数的关系及其应用第2章一元二次方程浙教版八年级下册重难点突破系列 1.一元二次方程根与系数的关系上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 2.韦达定理的应用韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代数式的值; 运用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 运用韦达定理的逆定理,构造一元二次方程辅助解题等. 韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 3.一些有用的结论上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 (3)以x1,x2为两根的方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0. (4)若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录上一页下一返回导航上一页下一页返回目录上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 (3)(x1-3)(x2-3). 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 (4)x1-x2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【思路点拨】将代数式变形为x1+x2和x1x2的形式,再利用根与系数的关系求值,对于(4)要注意x1-x2的符号. 【方法归纳】求关于方程两根对称式的代数式的值的一般步骤如下:(1)设方程的两根为x1,x2;(2)运用韦达定理求出x1+x2和x1x2的值;(3)将对称式用x1+x2和x1x2的代数式表示;(4)代入求解. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【例2】若关于x的方程x2+(a2-1)x+a=0的两根互为相反数,则a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D. 1 B 【思路点拨】利用根与系数的关系得到-(a2-1)=0,解方程得a=1或a=-1,然后把a的值代入原方程检验即可作出判断. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【解题过程】 ∵关于x的方程x2+(a2-1)x+a=0的两根互为相反数, ∴-(a2-1)=0,解得a=1或a=-1. 当a=1时,原方程可化为x2+1=0,方程没有实数解,舍去; 当a=-1时,原方程可化为x2-1=0,方程有实数解,符合题意. ∴a的值为-1. 故选B. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【思路点拨】条件中的两个方程具有相同的结构,可利用一元二次方程根的定义构造新的一元二次方程,再用韦达定理求解. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【例4】已知关于x的方程kx2+(k+1)x+ =0有实数根. (1)求k的取值范围. 【思路点拨】分为k=0和k≠0两种情况讨论求解; 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 (2)是否存在实数k,使方程的两根的倒数和为1?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】根据根与系数的关系建立关于k的方程解得即可. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录上一页下一返回导航上一页下一页返回目录上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【例5】已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根,则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的值是( ) A.-25 B.-24 C.35 D.36 D 【思路点拨】根据一元二次方程根的定义得到a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,即a2=3a+5,b2=3b+5,根据根与系数的关系得到a+b=3,然后整体代入变形后的代数式即可求解. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【解题过程】 ∵a,b是方程x2-3x-5=0的两根, ∴a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,a+b=3, ∴a2-3a=5,b2=3b+5, ∴2a3-6a2+b2+7b+1=2a(a2-3a)+(3b+5)+7b+1= 10a+10b+6=10(a+b)+6=10 3+6=36. 故选D. 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录【例6】已知关于x的方程x2-2mx+ =0,其中m,n是等腰三角形的腰和底边长. (1)求证:这个方程有两个不相等的实数根. 【解题过程】证明:∵m,n是等腰三角形的腰和底边长, ∴2m>n>0, ∵b2-4ac=(-2m)2-4 1 =4m2-n2=(2m-n)(2m+n)>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 【思路点拨】只要证明一元二次方程根的判别式大于0即可; 上一页下一返回导航上一页下一页返回目录 (2)若方程

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