18函数与导数拓展训练-2024届高三数学三轮复习专题

高三数学三轮复习专题---十年高考真题解析及拓展训练 ------18函数与导数 一、天津十年高考解析 1．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 2．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 3．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 4．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 5．（2019·天津·高考真题）设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 6．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明：； （III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 7．（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，函数，求证：； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足. 8．（2016·天津·高考真题）设函数x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于. 9．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： 10．（2014·天津·高考真题）已知函数．已知函数有两个零点，且． （1）求的取值范围； （2）证明随着的减小而增大； （3）证明随着的减小而增大． 2、 全国卷选编 1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 2．（2023·全国乙卷文·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 3．（2023·全国1卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 4．（2022·全国乙卷文·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 7．（2021·全国1卷·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 3、 拓展训练 1．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求证：． 2．（2024·天津·一模）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 3．（2024·天津南开·一模）已知，a为函数的极值点，直线l过点， (1)求的解析式及单调区间： (2)证明：直线l与曲线交于另一点C： (3)若，求n.（参考数据：，） 4．（2024·天津河东·一模）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)函数，证明：． 5．（2024·北京房山·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学三轮复习专题---十年高考真题解析及拓展训练 ------18函数与导数 一、天津十年高考解析 1．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成