15空间向量与立体几何拓展训练-2024届高三数学三轮复习专题

高三数学三轮复习专题----十年高考真题解析及拓展训练 ------15空间向量与立体几何 1、 天津十年高考解析 1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（2022·天津·高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 4．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2019·天津·高考真题）如图，平面，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长. 6．（2018·天津·高考真题）如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面； （II）求二面角的正弦值； （III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长. 7．（2017·天津·高考真题）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 8．（2016·天津·高考真题）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （Ⅰ）求证：EG∥平面ADF； （Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值； （Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 9．（2015·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长. 10．（2014·天津·高考真题）如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．    （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 2、 全国卷选编 1．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 4．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 3、 拓展训练 1．（2024·天津红桥·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，与平面所成角为，分别是中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 2．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离． 3．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2024·天津·一模）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 5．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 6．（2024·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点E是棱上靠近P端的三等分点，点是棱上一点.    (1)证明：平面 (2)求点F到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 7．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点