3.2.1单调性与最大(小)值(1)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值(1) 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义． 2. 掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3. 能利用函数图象划分函数的单调区间. 活 动 方 案 内容索引 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫作函数的单调性．下面进一步用符号语言刻画这种性质． 活动一 探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念 内容索引 先研究二次函数f(x)＝x2的单调性． 画出它的图象(如图)，可以看到： 图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x≤0时，y随x的增大而减小； 图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x≥0时，y随x的增大而增大． 内容索引 思考1►►► 请你用符号语言描述上述单调性？ 内容索引 思考2►►► 函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？ 【解析】 f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增； f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上单调递减． 内容索引 1. 增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增(如图1)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减(如图2)． 内容索引 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．     2. 函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 内容索引 思考3►►► (1) 设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1, x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？你能举例说明吗？ 内容索引 (2) 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 【解析】 函数f(x)＝x在区间(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减，在区间[0，＋∞)上是单调递增的． 内容索引 例 1　画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1) y＝－x2＋2； 活动二 探究函数的单调性 【解析】 函数图象如图，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)． 【解析】 函数图象如图，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间． 内容索引 例 2　根据定义， 研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性． 内容索引 画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间． 内容索引 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 内容索引 活动三 探究函数单调性的证明方法 内容索引 内容索引 内容索引 ①当x1，x2∈(－1,1)，即|x1|<1，|x2|<1时， |x1x2|<1，所以x1x2<1，即1－x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)单调递增． ②当x1，x2∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时， 1－x1x2<0， 所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)单调递减． 综上所述，f(x)在区间(－1,1)上单调递增，在区间(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递减． 内容索引 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间I上任意取x1，x2且在x1<x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：(1) 取值：任取x1，x2∈I，且x1<x2；(2) 作差：f(x1)－f(x2)；(3) 变形：通常通过因式分解、配方或通分等途径将结果化为积或商的形式；(4) 定号：判断f(x1)－f(x2)的正负；(5) 小结：指出函数f(x)在给定区