3.2.1单调性与最大(小)值(2)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值(2) 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2. 理解函数的最大(小)值是在指定区域上研究函数． 3. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一. 活 动 方 案 内容索引 观察下图，可以发现，二次函数f(x)＝x2的图象上有一个最低点(0, 0)，即∀x∈R，都有f(x)≥f(0) .当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值． 活动一 探究函数的最大(小)值的概念 内容索引 思考1►►► 你能以函数f(x)＝－x2为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？ 【解析】 可以发现，二次函数f(x)＝－x2的图象上有一个最高点(0, 0)，即∀x∈R，都有f(x)≤f(0)．当一个函数f(x)的图象有最高点时，我们就说函数f(x)有最大值． 内容索引 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) ∀x∈D，都有f(x)≤M； (2) ∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 其几何意义是函数f(x)的图象上最高点的纵坐标． 内容索引 思考2►►► 你能仿照函数最大值的定义，给出函数y＝f(x)的最小值的定义吗？ 【解析】 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) ∀x∈D，都有f(x)≥M； (2) ∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 内容索引 思考3►►► 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 【解析】 不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 内容索引 例 1　下图是函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 活动二 利用图象求函数最值 【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,4)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝4；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.函数的增区间为[－1.5,3]，[5,6]；减区间为[－4，－1.5]，[3,5]，[6,7]． 内容索引 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值，并写出值域． 内容索引 1. 函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标． 2. 图象法求最值的一般步骤：(1) 作图象；(2) 找单调区间；(3) 确定最值． 内容索引 例 2　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (单位： m)与时间t (单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7 t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到 1 m)　 活动三 求二次函数最值 【解析】 画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象．　 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9 t 2＋14.7t＋18， 内容索引 内容索引 活动四 利用单调性求函数最值 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 1. 当函数的图象不知或不易作出时，常利用单调性求其最值． 2. 函数的最值与单调性的关系： 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). 内容索引 活动五 探究二次函数在闭区间上的最值 内容索引 【解析】 (1) 因为函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， 所以f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)， 所以f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(1)＝－4. 内容索引 内容索引 内容索引 (3) f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a. ①当a≥1时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a； ②当－1＜a＜1时，函数图象如图2所示，函数 f(x)在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)＝2－a2； ③当a≤－1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[－1,1]上