2023—2024学年浙教版数学八年级下册重难点突破《第3讲一元二次方程及解法》

第1讲 一元二次方程及解法 第2章 一元二次方程 浙教版 八年级下册重难点突破系列 1.一元二次方程的有关概念 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程．能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)．一元二次方程的定义要把握住一个未知数、最高次数是2、两边是整式这三点． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 2.一元二次方程的一般形式 任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0的形式．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 3.一元二次方程的解法 (1)因式分解法：因式分解法的一般步骤是①使方程的右边等于0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． (2)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x－b)2＝a(a≥0)的一元二次方程，就可用开平方的方法． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 (3)配方法：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤是①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为(x＋m)2＝n的形式；⑤若方程右边是非负数，即n≥0，就可以用开平方法求出方程的解．若n＜0，则原方程无解． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 (4)公式法： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： ，适用的条件为b2－4ac≥0，特别地， 当b2－4ac＝0时，x1＝x2＝ . 运用公式法解一元二次方程的步骤：①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；②求出b2－4ac的值；③若b2－4ac≥0，把a，b，c及b2－4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2－4ac＜0，此时方程无解． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 4.怎样选择一元二次方程的解法 (1)一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用开平方法；当常数项为0时(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；当一次项系数和常数项都不为0时(ax2＋bx＋c＝0)，先化为一般形式，看方程左边的整式是否容易分解因式，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法．当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 (2)方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单的方法，若看不出合适的方法，则把它去括号并整理为一般形式再选取合适的方法． (3)公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的．因此，解方程时我们首先考虑能否运用“开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法(也可考虑配方法)． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 5.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，我们把b2－4ac叫作一元二次方程根的判别式．它的值与一元二次方程的根的关系如下： ①b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； ②b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； ③b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根； ④b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 6.易错知识辨析 (1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，要注意一元二次方程的一般形式中a≠0. (2)用公式法和因式分解法解方程时通常要先化成一般形式． (3)用配方法时二次项系数要化为1. (4)用开平方法时要记得取正负两个值． 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 【例1】　已知方程(m＋1)xm2+1＋(m－3)x－1＝0. (1)当m取何值时，此方程是一元二次方程？求出此方程的解． 【思路点拨】　要使关于x的方程是一元二次方程，则m2＋1＝2且系数不为0.先确定m的值，再求出一元二次方程的根； 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录 上一页 下一 返回导航 上一页 下一页 返回目录