2.2基本不等式(1)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 2.2.1 基本不等式(1) 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 1. 掌握基本不等式的内容. 2. 能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3. 能初步运用基本不等式来证明简单的不等式. 4. 熟练掌握基本不等式及变形的应用. 5. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 活 动 方 案 内容索引 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 活动一 探究基本不等式 内容索引 思考1 如果a>0,b>0,我们用,分别代替上式中的a,b,可以得到什么? 内容索引 思考2 基本不等式表明什么意义? 【解析】 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考3 你能利用不等式的性质推导出基本不等式吗? 内容索引 思考4 如图,AB是⊙O的直径,C是AB上的一点,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D,连接AD,BD,你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 内容索引 思考5 当a,b∈R时,由(a-b)2≥0可得哪些常用不等式? 内容索引 活动二 基本不等式的简单应用 【答案】 C 内容索引 活动三 利用基本不等式求最值 内容索引 【答案】 12 内容索引 内容索引 应用基本不等式时的注意点: 一正:两项必须都是正数;二定:求两项和的最小值,它们的积应为定值,求两项积的最大值,它们的和应为定值;三相等:等号成立的条件必须存在. 内容索引 活动四 利用基本不等式证明不等式 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 活动五 利用基本不等式比较大小 内容索引 内容索引 检 测 反 馈 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 D 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 C 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 【答案】 ABD 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 【答案】 ②③④ 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 【解析】 ≤,当且仅当a=b时,等号成立. 上述不等式称为基本不等式.其中叫作正数a,b的算术平均数,叫作正数a,b的几何平均数. 【解析】 要证≤,① 只要证2≤a+b,② 要证②,只要证2-a-b≤0,③ 要证③,只要证-(-)2≤0,④ 要证④,只要证(-)2≥0,⑤ 因为⑤成立,所以≤成立,当且仅当a=b时,等号成立. 【解析】 可证 ACD∽ DCB,故=,得CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为≤,当且仅当点C与点O重合,即a=b时,等号成立. 几何解释:半弦不大于半径. 【解析】 当a,b∈R时, ab≤(当且仅当a=b时,等号成立); ab≤2(当且仅当a=b时,等号成立). 例 1当a,b∈R时,下列不等关系成立的是( ) A. a+b≥2 B. a-b≥2 C. a2+b2≥2ab D. a2-b2≥2ab 【解析】 根据≥ab,≥成立的条件判断,知A,B,D错误,只有C正确. 例 2 已知x>0,求函数y=x+的最小值. 【解析】 因为x>0,所以x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=1时,等号成立, 因此所求的最小值为2. 已知x>0,则函数y=4x+的最小值为_. 【解析】 因为x>0,所以4x+≥2=12,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故函数y=4x+的最小值为12. 例 3 已知x,y都是正数,求证: (1) 如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2; (2) 如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值. 【解析】 因为x,y都是正数,所以≥. (1) 当xy等于定值P时,≥,所以x+y≥2,当且仅当x=y时,上式等号成立,所以当 x=y时,和x+y有最小值2. (2) 当x+y等于定值S时,≤,所以xy≤,当且仅当x=y时,上式等号成立,所以当x=y时,积xy有最大值. 例 4 设a,b为正数,证明下列不等式成立. (1) +≥2; 【解析】 因为a,b为正数,所以,也为正数,由基本不等式,得+≥2=2,当且仅当=,即a=b时,取得等号,所以原不等式成立. (2) a+b++≥4. 【解析】 因为a,b为正数,所以,也为正数,由基本不等式,得a+≥2=2,b+≥2=2,所以a+b++≥4,当且仅当a=,b=,即a=b=1时,取得等号,所以原不等式成立. 证明: (1) +≤-2(a,b异号); 【解析】 因为a,b异号,所以-,-为正数,由基本不等式得+≥2=2,当且仅当=,