2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式(1)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1　二次函数与一元二次方程、不等式(1) 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 活 动 方 案 内容索引 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题． 活动一 一元二次不等式 内容索引 问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 【解析】 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.根据题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0＜x＜12}．整理，得x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}．求解不等式的解集，就得到该问题的答案． 内容索引 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 内容索引 思考1►►► 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 【解析】 能．可以从2个角度来看． ①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． ②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 内容索引 思考2►►► 怎样从函数观点进一步解决一元二次方程 x2－12x＋20＝0根的问题？ 活动二 探究二次函数的零点 【解析】 从函数观点看，方程x2－12x＋20＝0的两个根x1＝2，x2＝10就是二次函数y＝x2－12x＋20中，当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴交点的横坐标．这时，我们称二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点是x1＝2，x2＝10. 内容索引 思考3►►► 你能归纳二次函数零点的概念吗？ 【解析】 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 内容索引 思考4►►► 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点是点吗？为什么？ 【解析】 不是．函数的零点的本质是对应方程y＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零． 内容索引 活动三 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 探究　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系： 当a＞0时，我们有： 内容索引 内容索引 思考5►►► 对于活动一中不等式的解集是什么呢？ 【解析】 方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10.根据函数y＝x2－12x＋20的图象，可得原不等式的解集为{x|2＜x＜10}． 思考6►►► 若a＜0，则对应不等式的解集是什么呢？如何求解？ 【解析】 当a＜0时，通过不等式两边同乘以－1，将问题转化为二次项系数为正的情形，利用上表解决. 内容索引 例 1　解下列不等式． (1) x2－7x＋12＞0； 活动四 掌握解一元二次不等式的方法 【解析】 {x|x＜3或x＞4} (2) －x2－2x＋3≥0； 【解析】 {x|－3≤x≤1} (3) x2－2x＋1＜0； (4) x2－2x＋2＞0. 【解析】 R 内容索引 解下列不等式． (1) 2x2－3x－2＞0； (2) x2－3x＋5＞0； 【解析】 因为Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0， 所以不等式x2－3x＋5＞0的解集为R. 内容索引 (3) －6x2－x＋2≥0； (4) －4x2≥1－4x； 内容索引 (5) 2x2－4x＋7＜0； 【解析】 因为原不等式可化为(x－3)2＞0， 所以原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}． (6) x2－6x＋9＞0. 内容索引 用图象法解一元二次不等式的步骤：求根，画图，找解．一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式，尤其要注意“>”与“≥”，