复数整章考点讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 复数的概念 1． 数系的扩充和复数的概念： （1） 虚数单位： （是数学家欧拉最早引入的）； 就是方程的一个根，另一个根是； 的周期性：，，，．于是就有． （2） 数系的扩充： 形如（）的数叫复数，通常用字母表示，即复数，称为复数的实部，称为 复数的虚部． 全体复数组成的集合叫做复数集，用字母表示，实数集R为C的真子集． 2． 复数的几何意义： （1） 复数与有序实数对是一一对应关系．在坐标系内，复数可用 点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴． 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外，都表示纯虚数． （2）复平面内的点平面向量，所以向量的模叫做复数 的模或绝对值，记作． （3）共轭复数：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共 轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 例题讲解 【例1】若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ） A． B． C． D． 【例2】若复数为纯虚数，则（ ） A． B．13 C．10 D． 【例3】复数，当m取何实数时： （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分． 【例4】设复数，当取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线上． 【例5】（多选）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【例6】以下命题中，正确的是（ ） A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【例7】在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【例8】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【例9】若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【例10】已知复数，且z的共轭复数为，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 【例11】已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________. 【例12】若，则取值范围是______． 7.2 复数的四则运算 1. 复数的加、减运算及其几何意义： （1）设， (、、、)是任意两个复数， ， 满足交换律和结合律， 其几何意义就是对应向量的加法运算． （2），同理，其几何意义就是对应向量的减法运算． 2. 复数的乘、除运算： （1）设， (、、、)是任意两个复数， 规定：，其结果仍然是一个复数． 满足结合律和分配律． （2）规定：复数的除法是乘法的逆运算，所以== 其结果仍然是一个复数． （3）在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： 当时，； 当时，． 3. 常用结论： ； ； ＝|z|2＝||2； ； ； ； ； *代数基本定理： 任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．但一元五次及五次以上的方程不存在一般 的求根公式． 例题讲解 【例1】______. 【例2】复数等于（ ） A． B． C． D． 【例3】 ______. 【例4】如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________． 【例5】已知向量对应的复数为，若点对应的复数为，求点对应的复数． 【例6】若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7】复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【例8】已知为虚数单位，复数，则的模为（ ） A． B．3 C． D． 【例9】若．设，则（ ） A．2i B．2 C． D． 【例10】已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例11】（多选）设，则下列叙述中正确的是（ ） A．的虚部为 B． C．∣z∣= D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 【例12】（多选）若复数，则（ ） A． B．z的实部与虚部之差为3 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【例13】复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象