江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期数学期中复习训练

常州市第一中学2023-2024学年第二学期高二数学期中复习训练 一、单选题 1．已知定义在上的函数的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图，菱形边长为2，，E为边的中点，将沿折起，使A到，连接，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 4．已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 5．已知实数a,b满足:且,则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则下述说法正确的是（    ） A．函数有两个极小值点 B．函数不存在极大值点 C．当时，函数的值域是，则 D．当时，函数恰有4个不同的零点 7．如图，设E，F别是正方体的棱CD 的两个动点，点E在F的左边，且，，点P在线段上运动，则下列说法正确的是（    ） A． ⊥平面 B．三棱锥的体积为定值 C．点到平面的距离为 D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 8．球的体积V（单位：）与半径R（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为__________． 9．已知向量，，则在上的投影向量为 .（用坐标表示） 10．设，，若存在，，使得，则称函数与互为“n度零点函数”若，与为自然对数的底数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题 11．如图，函数图像与轴相切于原点． （1）求的值； （2）若，设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 12．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 13．已知函数,，其中为自然对数底数． （1）当时，①求函数的极值；②证明：； （2）是否存在正实数，使得的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 14．已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若，则当时，函数的图象是否总在直线上方？请写出判断过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市第一中学2023-2024学年第二学期高二数学期中复习训练教师版 一、单选题 1．已知定义在上的函数的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，所以不等式等价为：①当时，， 即时，求函数单调递减区间，由图可知，此时或， ②当时，，即时，求函数单调递增区间，此时， 所以不等式的解集为.故选:C 2．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意, ,所以. 因为定义在(0,+∞)上的函数在区间上有且仅有一个极值点,所以在区间上只有一个变号零点.令,则. 令，则. 所以当0<x<1时, ;当x>1时.所以g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以. 又，且区间端点不能成为函数的极值点，故当时, 有一个极值点x=3在区间上,符合题意；当时, 没有极值点在区间上,不合题意,故当时, 在区间上只有一个变号零点,故实数a的取值范围为.故选:B 3．如图，菱形边长为2，，E为边的中点，将沿折起，使A到，连接，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【详解】对于A，在菱形中连结，在中，，，所以是正三角形，由于E为边的中点，所以，又，故， 又因为, 平面， 所以平面，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以面，又面与面的交线为l，面, 所以，故B正确； 对于C，由A知，，故折起后仍有， 又平面，则，故以为原点, 分别以为轴, 建立如图所示空间直角坐标系：则，则， 因为面，所以是面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 所以，故C错误； 对于D，易证面，故为平面的一个法向量， 又， 设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，故，所以， 又由图形可知二面角为锐角，故其余弦值为，故D正确.故选：C. 4．已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以，所以，所以， 由，得， 当时，由，得，所以在上单调递增， 所以，所以， 令，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上