8.6.1直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 回顾与引入 前面我们学习空间直线、平面的平行关系,事实上,垂直关系也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用. 类比平行关系的研究过程和方法,本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系,研究的重点仍然这些垂直关系的判定和性质. 首先请大家回顾一下,空间直线、平面的位置关系,我们是按怎样的顺序进行研究的? 线线 线面 面面. 对于空间中两条直线的位置关系我们前面已经学习过,你还能想吗? 平行 相交 共面 异面 对于平行直线和相交直线,我们在初中就比较熟悉了,所以我们将把本节的重点放在如何刻画两条异面直线的位置关系上. 知识探究(一) 问题1:在如图所示的正方体中,直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面,但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的,如何描述这种差异呢? B D C A' B' C' D' A 思考(1):我们知道,在平面几何中,我们是如何来刻画两条相交直线的位置关系 —— 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度的? 在一个平面内,两条直线相交形成4个角,其中不大于90 的角称为这两条直线所成的角(或夹角). 它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 通过两条直线所成的角(或夹角) 问题1:在如图所示的正方体中,直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面,但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的,如何描述这种差异呢? B D C A' B' C' D' A 思考(2):类比这种方法,你认为该如何来刻画异面直线间的位置差异吗? 由于两条异面直线并不相交,所以无法直接得到它们所成的角(或夹角). 但我们可以利用“空间图形平面化”的思路,寻求一个平面角来代替它. 先在空间中任取一个点, 然后分别将两条异面直线平移到这个点相交,或者过这个点分别作这两条异面直线的平行线. 用这两条相交直线所成的角来刻画异面直线的位置关系. B D C A' B' C' D' A 不管这个点的位置如何,由等角定理可知,对同一对异面直线,这个平面角都是相等的. 思考(3):对同一对异面直线,用以上方法得到的平面角相等吗? 思考(4):用以上 的方法,请你说说直线A'C' 和A'D' 相对于直线AB 的位置差异吗 问题1:在如图所示的正方体中,直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面,但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的,如何描述这种差异呢? 平移直线A'C' 、AB, 得到的平面角都为45 平移直线A'D' 、AB, 得到的平面角都为90 因此用这样的角是可以表示直线A'C' ,A'D' 与异面直线AB 在位置上的差异的. 思考(5):我们把用这种方法得到的角称为异面直线所成的角(或夹角),你能用说说什么是异面直线所成的角吗?其范围是多少?特殊情况又是什么? 异面直线所成的角 1.定义: 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′//a,b′//b,我们把直线a′,b′所成的角(或夹角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.范围: (0 ,90 ] 3.特殊情况: 若两条异面直线的夹角为90 ,我们就说这两条异面直线互相垂直. 返回 知识探究(二) 问题2:有了异面直线所成角的定义后,请你想想对于空间的任意两条直线a,b,,它们所成角的范围是怎样的?为什么? (1)当a,b平行时, (2)当a,b相交时, (3)当a,b异面时, 我们规定a,b所成的角为0 。 综上,空间的任意两条直线所成角的范围为[0 ,90 ]. 相交所得的4个角中,不大于的90 (即(0 ,90 ] )角为a,b所成的角. 与a,b分别平行的两条相交直线所成的角(即(0 ,90 ] )为a,b所成的角. 两条直线垂直 1.定义: 若两条直线所成的角为90 ,则称这两条直线垂直. 2.种类: 相交垂直,异面垂直。 知识探究(三) 问题3:根据异面直线所成角的定义,结合空间几何平面化的思路,你认为求异面直线所成角的过程是怎样的? 1.作(找): 恰当地选择一个点(经常在其中一条线上取点),作(找)出(常用平移法)异面直线所成的角(或其补角); 常利用三角中位线、平行四边形等性质,来作(找)异面直线的平行线,从而构造出此角. 2.证: 证明所作(找)的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角; 关键也是证明角的边线与异面直线平行(或重合). 3.算: 通过解三角形或其他方法,求出以上所构造的角的大小; 若如此角为钝角,则其补角才是所求角. 求异面直线所成角的一般步骤 一作二证三计算 简称: 返回 例1.如右图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直