22.2 二次函数与一元二次方程 课件2023-2024学年 人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 人教版九年级上册 1.通过类比的方法理解一元二次方程 根的情况与抛物线 和直线 交点的情况之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力. 2.通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一元二次方程的关系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力以及归纳概括的能力. 3.通过二次函数与一元二次方程之间关系的探究，使学生体会数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣. 重点 难点 学习目标 如图，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用y=-x+来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不至于流到池外？ 新课导入 回答下列问题： 1.一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标是什么？ 2.一元一次方程x+2=0的根是多少？ 3.一次函数y=kx+b的图象与一元一次方程kx+b=0的根有什么关系？ 观看视频，思考问题 以40 m/s的速度将球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：.考虑以下问题： 球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ 说一说为什么会有两个时间点，球的飞行高度是15m？ 1.请同学们阅读课本43页问题. 自主探究 2.画出函数的图象，思考： ①为什么在问题（1）中有两个点符合题意 问题（2）中只有一个点符合题意？ 抛物线与直线有两个公共点，与直线y=20只有一个公共点. 自主探究 ②你能根据图象，回答问题（3）（4）吗？ 由图象可知，抛物线h=20t-5t2顶点坐标为（2,20），所以小球的飞行高度不可能达到20.5 m.由图象可知，抛物线h=20t-5t2与x轴的公共点为（0,0），（4,0），所以小球从飞出到落地要用4 s. 自主探究 3.请同学们阅读课本44页思考. 4.抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程根的判别式 有什么关系?公共点的横坐标与方程的解有什么关系? 若b²-4ac>0,则抛物线与x轴有两个公共点；若b²- 4ac=0,则抛物线与x轴有一个公共点；若b²-4ac<0, 则抛物线与x轴没有公共点.公共点的横坐标就是一元二次方程的解. 5.请同学们阅读课本46页例题. 小组讨论 1.请同学们归纳二次函数与一元二次方程的联系. 抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点的横坐标为一元二次方程ax²+bx+c=0的根，抛物线y=ax²+bx+c与x 轴的公共点个数与一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式有关. 2.已知抛物线y=2(k+1)x²+4kx+2k-3. (1)当k为何值时，抛物线与x轴有两个公共点? (2)当k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点? (3)当k为何值时，抛物线与x轴没有公共点? k>-3且k≠-1;k=-3;k<-3 教师讲评 知识点1．二次函数与一元二次方程的联系（难点） 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x 轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系： 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与x 轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0 的 根 注 已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m；反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=m，可以看成已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值m，求自变量x的值. 教师讲评 知识点2．用图象法求一元二次方程的近似解（重点） 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的步骤： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数。 （2）由图象与直线y=0的交点位置确定交点横坐标的范围。 （3）观察图象求得方程的解（由于作图或观察存在误差，故由图象求得的解一般是近似的） 教师讲评 知识点3．二次函数与不等式（难点） 1.函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围。 2.利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可以利用两个函数解析式列不等式求解。 教师讲评 例1: 二次函数的部分图象如图所示，则该抛物线与x轴的交点坐标是_________________. 【题型一】抛物线与坐标轴的公共点问题 （-1,0）和（5,0） 典型精讲 例2: 已知二次函数y=ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如下表： ①抛物线的顶点坐标为（1，-9）； ②与y轴的交点坐标为（0，-8）； ③与x轴的交点坐标为（-2,0）和（2,0）； ④当x=-1时，对应的函数值y为-5. 以