8.3.1多面体的表面积与体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 多面体的表面积和体积 教学目标与重难点 教学目标： 掌握利用给定的图形、条件计算多面体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积与体积的方法，培养直观想象与数学运算能力 教学重点： 棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式 棱锥、棱台中高、侧棱长与侧面斜高的关系 教学难点：组合体表面积与体积的求法 案例分析 尚老板现要制作一个长、宽、高分别为60 cm、40 cm、20 cm的封闭空心瓦楞纸箱，他至少需要购买面积为多大的纸板？ 多面体的表面积 多面体是若干个平面图形围成的空间几何体，其表面积是围成多面体各个面的面积之和。 多面体的表面积【例1-a】 如图，四面体P-ABC各棱长均为，求它的表面积. 解：四面体P-ABC由四个边长均为的正三角形围成 则四面体的表面积 确定各个表面的情况 计算各个表面的面积，再相加 多面体的表面积【例1-b】 如图，正四棱台-的上、下底面边长分别为3、5，侧棱长为，求它的表面积. 解：正四棱台-小正方形、1个大正方形、4个全等的等腰梯形围成 其上底面积 下底面积 而侧面梯形的上底、下底、腰的长度分别为3、5、 多面体的表面积【例1-b】 可过作AB的垂线，垂足为M，可知 则侧面高 则正四棱台的表面积 多面体的表面积【变式1-a】 如图，四面体P-ABC中，PA=AB=AC=2且这三条棱两两垂直，求它的表面积. 解：四面体P-ABC由四个三角形围成，且其中三个为直角三角形，由勾股定理求得，第四个面为正三角形 则四面体的表面积 多面体的表面积【变式1-b】 如图，正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为，侧棱长为，求它的表面积. 解：正六棱锥P-ABCDEF由七个面围成，包含1个边长为2的正六边形，6个全等的等腰三角形 正六边形ABCDEF可以切割为6个正三角形 故底面积 多面体的表面积【变式1-b】 过点作PMAB于M，故=BM=1 故侧面积 综上，表面积= + 多面体的表面积【变式1-c】 三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=6，求它的表面积. 解：三棱锥P-ABC由四个全等的三角形围成 故 则 表面积 多面体的表面积——方法小结 多面体表面积计算的一般方法： 根据实际问题所给条件，绘制相应的直观图（给出图形则可跳过本步骤）； 准确地判断多面体各个表面的形状，确定各类平面图形面积计算中所需要的数据； 计算每个平面图形的面积（可能需要用到正弦/余弦定理），而后将结果相加. 实践活动 将整齐摆放的一摞草稿纸向一侧推动，使其倾斜。 每一张草稿纸的面积大小改变了吗？ 这一摞草稿纸的厚度改变了吗？ 这一摞草稿纸的外观形状改变了吗？ 草稿纸所占空间的大小发生变化了吗？ 多面体的体积 通过实践活动中的探索与思考，我们可以认为，在两个底面大小和底面距离都不变的情况下，棱柱的体积不变。 我们之前学过的长方体的体积计算公式如下： 体积=长宽高 其中“长宽”等于长方体的底面积，故该公式可以改写为 体积=底面积高 多面体的体积 结合以上事实，类比于长方体的体积公式，我们可以提出棱柱的体积公式： 其中是棱柱的底面积，是棱柱的高（过一个底面内一点作另一个底面的垂线，这一点与垂足之间的距离称为高），特殊地，直棱柱的侧棱与底面垂直，其所有侧棱的长度均等于高。 多面体的体积 研究表明，棱锥的体积公式为： 其中是棱锥的底面积，是棱锥的高（过顶点作底面的垂线，顶点与垂足之间的距离称为高），特殊地，正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线就是它的高。 在底面积和高相同的情况下，棱柱的体积为棱锥的3倍。 多面体的体积 棱台可以视为一个大棱锥截去一个小棱锥得到的几何体，因此我们借助棱锥体积公式，推出了棱台体积的计算公式： 其中、分别是棱台的两个底面积，是棱台的高（与棱柱的高作法相同，即过一个底面内一点作另一个底面的垂线，这一点与垂足之间的距离称为高）。 计算过程中容易遗漏！ 多面体的体积【例2-a】 某直四棱柱的所有棱长均为3，且底面四边形的一个内角大小为，求其体积. 解：根据题目所给条件，可绘制如下的直观图，并有该棱柱的底面为边长为3的菱形，侧棱长（高）也是3 连接BD，可以发现底面被分为两个正三角形 故棱柱体积 多面体的体积【例2-b】 在棱长为4的正方体-中，E为的中点，分别求四棱锥E- 、三棱锥E-的体积. 解：根据题目所给条件，可绘制如下的直观图 在正方体中，侧棱与底面ABCD垂直 故四棱锥E- 的高即是EB 棱锥体积 多面体的体积【例2-b】 在三棱锥E-中，以为底面，需要过顶点E作底面的垂线来求棱锥的高，而在正方体中，过底面的点向作垂线可得正方体的高，故正方体的高就是三棱锥E-的高 棱锥体积 多面体的体积【例2