专题13.3空间两条直线的位置关系（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题13.3空间两条直线的位置关系 知识点1直线与直线之间的位置关系 平行关系 相交关系 独有关系 直线与直线 图示 符号 语言 a∥b a，b是异面直线 知识点2直线与直线平行 一、基本事实4 1.文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2.符号表述： 3.作用：证明两条直线平行 二、等角定理 1.文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2.符号语言：,或 3.作用：判断和证明两个角相等或互补。 三、空间四边形 顺次连接不共面的四点所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 四、线线平行的证明方法： 1.定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 2.利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 3.利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 知识点3异面直线 一、两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）. 二、异面直线所成角： 1.定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线， 我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2.角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：. 3.当时，与互相垂直，记作 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． 三、判定两条直线是异面直线的方法 1.定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内 2.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为与是异面直线(如图)． 重难点1空间中证明线线平行 1．如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是（        ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 2．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 3．如图，四边形和四边形都是梯形，且，且，，分别为的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)四点是否共面？为什么？ 4．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 5．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 证明空间两条直线平行的常用方法：利用平面几何法，有三角形中位线、平行四边形的性质等，再利用平行的传递性即可证明 重难点2等角定理 6．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 7．已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 8．已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则 ． 9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 利用空间等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反. 重难点3异面直线的判断 10．过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（    ）对 A．15 B．24 C．36 D．54 11．（多选）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和相交 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 12．（多选）如图．在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（    ）      A． B． C． D． 13．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：    （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 14．已知直线为异面直线，且与不相交，求证：为异面直线． 15．在正方体中，E和F分别为BC和的中点． (1)判断直线EF和直线的位置关系，并说明理由； (2)判断直线和直线的位置关系，并说明理由． 判定异面直线往往根据“过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”来判断. 重难点4求异面直线所成的角 16．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异