（小升初典型奥数）变速及平均速度问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

变速及平均速度问题 板块一：知识精讲 一、变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算． 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解． 二、平均速度：速度、时间、路程三者之间的基本数量关系。 平均速度的基本关系式为： 平均速度＝总路程÷总时间； 总时间＝总路程÷平均速度； 总路程＝平均速度×总时间。 平均速度问题的解题思路和方法 1．分析人的运动问题，要养成画图的习惯。 2．运动包含几个阶段，就几段分析。 3．设值法，对已知速度未知路程的题目，往往可以以速度的最小公倍数设路程，求解更容易。 平均速度需要注意： 1．平均速度一定是总路程÷总时间，绝对不是多段速度的平均值 2．已知多段速度，一定先求各段时间；已知多段时间，可以直接求总时间 板块二：典型例题 例题1：小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同？ 【答案】20千米/小时 【详解】由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的15千米/小时相当于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是30千米，从而总时间为小时.开始的三分之一路程则为10千米，所用时间为小时，可见剩下的20千米应用时1小时，从而其速度应为20千米/小时. 例题2：甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离. 【答案】420千米 【分析】先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键. 下面的考虑重点转向速度差. 在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋16＝28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28÷5＝5.6（小时）. 比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）. 甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米．据此可求出甲的速度．同理可求乙的速度．A，B两地距离即可得出． 【详解】12＋16＝28（千米） 28÷5＝5.6（小时） 6-5.6＝0.4（小时） 甲的速度是12÷0.4＝30（千米/小时） 乙的速度是16÷0.4＝40（千米/小时） A到 B距离是（30＋ 40）×6＝420（千米） 答：A，B两地距离是420千米. 板块三：考前冲刺 1．小明乘车去公园，每小时行45千米，需要3.6小时，如果速度提高，可以提前多少小时到达？ 2．老王开汽车从A到B为平地（见下图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米