专题十一 倍长中线 课件 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

专题十一 倍长中线 1 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角 形，“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法，是考查学生综合能力的一 种形式，意在培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力，提高学生分析问题、 解决问题的能力. 2 类型一 倍长中线求值或范围问题 1.在中，，，是边上的中线，求 的取值范围. 3 解：如图， 延长到点，使，连接是 边上的中线， .在和 中， ，， ， ， .在中， ， ， . 4 2.如图，在中，是边上的中线， ， ，求 的取值范围. 5 解：如图， 延长到点，使，连接 . 在和 中， ， . 在中， ， ，即 ， ，即 . 6 类型二 倍长中线的几何证明 3.如图，是的中线，延长到点，使 ， 连接，构造出和.求证： . 7 证明：如图所示, 是的中线， . 在和 中， . 8 4.（1）是的中线，，,则 的取值范围是 _____________； 图1 解：如图1，将延长至点，使，连接 . 在和中， .在 中， ， ， . 9 （2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图， 是 的中线，交于点，交于点，且 ， 求证： . 10 图2 [答案] 如图2， 将延长至点，使，连接 . 由（1）可得，， . 又，， . ， . , . 11 5.如图1，为的中线，延长至点 ，使 ，连接 . （1）试证明： ； 证明：是的中线，.在 和 中， . 12 （2）用上述方法解答下列问题：如图2，为的中线，交于点，交于点，若，求证： . 13 [答案] 如图，延长到点，使，连接 是 的中线， . 在和 中， ，， ， ， ， , . 14 6.如图，在中，是边上的中线，延长到点 ，使 ，连接 . （1）求证： ； 证明：是边上的中线， . 在与 中， . 15 （2）与 的数量关系是_________，位置关系是_________； 解：，;，，故答案为， . 16 （3）若 ，猜想与 的数量关系，并加以证明. 解：.证明：，，， ， . 在和中，， . 17 类型三 倍长中线的几何综合问题 7.如图，在中，为 边上的中线. （1）按要求作图：延长到点，使,连接 ； 解：如图1所示. 18 （2）求证： ； 证明：如图2，为边上的中线， . 在和中， . 19 （3）求证： ； 证明：如图2，， . ，.在中，， . 20 （4）若，，求 的取值范围. 解：在中，，由（3）得， ， ，，，， . 21 8.（1）阅读理解：如图1，在中，若， ， 求边上的中线 的取值范围.解决此问题可以用如下方法： 延长到点，使得，再连接，把，， 集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线 的取值范围是 ____________； 22 解：如图1,延长到点，使得，再连接 ， 为中线， . 在和中， ， . 在中， ， ， . 23 （2）解决问题：如图2，在中，点是 边的中点， ，交于点，交于点，连接 ，求证： . 24 [答案] 如图2，延长到点，使，连接， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， . 在中，，即 . 25 （3）问题拓展：如图3，在中，点是 边的中点，延长 至点，使得，求证： . 26 [答案] 如图3，延长到点，使，连接 ， 由点是边的中点， . 在和中， ，， . ，， . 27 9.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图，在中，，，点是 的中点， 求边上的中线 的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延 长到点，使，连接，请补充完整证明“ ”的 推理过程. 28 （1）求证： ； 证明：延长到点，使，连接 ， 在和 中， （已作）， （____________）， ____（中点定义）， （_____）. 对顶角相等 29 图1 解：如图1，延长到点，使,连接 , 在和中, （已作）, （对顶角相等）, （中点定义）, . 故答案为对顶角相等；； . 30 （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出 的取值范围是 ____________； [解析] ，， ， ，，即 ， .故答案为 . 31 （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑 延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个 三角形中. 【问题解决】 如图，在中， ，，是的中线， ， ，且 ，求 的长. 32 [答案] 如图2，延长交的延长线于点 . ， ， . 在和 中， 33 ， ， . 又 ， ， ， . ， . 34 $$