精品解析：东北三省四城市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测（二）

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二） 数学 沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 高越 东北育才学校 王海涛 沈阳铁路实验中学 徐嘉龙 沈阳主审：沈阳市教育研究院 王孝宇 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线过点，则准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三人从事三项工作，乙的年龄比从事工作人的年龄大，丙的年龄与从事工作人的年龄不同，从事工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A. B. C. D. 7. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ） A. 平面平面 B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面 C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为 D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是 11. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ） A 若，则数列单调递减 B. 若对任意，都有，则 C. 若，则对任意，都有 D. 若的最大项与最小项之和为正数，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分． 12. 已知函数，则________． 13. 已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数________． 14. 有序实数组称为维向量，为该向量范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 17. 正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中． （1）求证； （2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为． （1）求点轨迹的方程； （2）点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值． 19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．