19.2第5课时 一次函数（4）--一次函数与一元一次方程 教学设计 2023-2024学年人教版八年级下册

第5课时 一次函数（4）--一次函数与一元一次方程 【教学目标】 1.理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解一元一次方程. 2.学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想. 3.经历方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 【学情分析】 已经掌握函数和方程有关知识 【重点难点】 教学重点：1.函数观点认识一元一次方程. 2.应用函数求解一元一次方程. 教学难点：用函数观点认识一元一次方程. 【教学过程】 一、复习回顾 1.写出一次函数的一般形式和一元一次方程的一般形式. 2.解下列一元一次方程： (1) 2x+1=0 (2) 2x+1=3 (3) 2x+1=-1 二、自主探究 探究1： 我们来看下面两个问题: 1.解方程2x+20=0 2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0? 这两个问题之间有什么联系吗? 我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法. 我们首先来思考上面提出的两个问题.在问题1中,解方程2x+20=0,得x=-10.解决问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时,所对应的自变量x为何值.这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此这两个问题实际上是一个问题. 从函数图象上看,直线y=2x+20与x轴交点的坐标(-10,0),这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10,即方程2x+20=0的解是x=-10. 活动内容设计: 由上面两个问题的关系,大家来讨论思考,归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0有什么关系?     探究2： 利用图象求方程2x+20=0的解. 教师活动:引导学生通过解决问题掌握方法,提高认识,从思想上真正理解数形结合的重要性.学生活动:在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题,从思想上理清数与形的有机结合. 活动过程与结论: 画出函数y=2x+20的图象,看直线y=2x+20与x轴的交点在哪儿,坐标是什么,由交点横坐标即可知方程的解. 由图可知直线y=2x+20与x轴交点为(-10,0),故可得x=-10. 教师活动:引导学生从特殊事例中寻求一般规律.进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系,从思想上真正理解函数与方程的关系. 学生活动:在教师引导下,通过自主合作,分析思考,找出这两个具体问题中的一般规律,从而经过讨论,归纳概括出较完整的关系,还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的. 活动过程与结论: 规律: 任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式. 而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同. 结论: 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. 三、析疑解惑 [例1]已知一次函数y = 2x + 1，根据它的图象回答：x 取什么值时，函数的值为1？为0？为-3？ [例2]一个物体现在的速度是 5m/s,其速度每秒增加2m/s,再过几秒它的速度为17m/s? [解]方法一:设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知:2x+5=17. 解之得:x=6. 方法二:速度y(m/s)是时间x(s)的函数,关系式为:y=2x+5. 当函数值为17时,对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6. 方法三:由2x+5=17可变形得到:2x-12=0. 从图象上看,直线y=2x-12与x轴的交点为(6,0).得x=6. 总结:这个题我们通过三种方法,从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答.它是数与形的完美结合,结果是相同的,这就是特途同归. 例3.利用函数图象解出x: 5x−1= 2x+5 [解]方法一: 由5x−1=2x+5 ，得3x−6=0 ． 由图象看出直线y = 3x−6与x轴的交点为（2，0），得x=2． 方法二: 画出两个函数y=5x−1 和y=2x+5的图象． 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x=2． 四、巩固拓展 1.根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？ 2.已知方程ax+b=0的解是x=-2，下列图象肯定不是直线y=ax+b的是（ ） A B C