4.5.1 相似三角形的性质课件-2023—-2024学年浙教版数学九年级上册

第4章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用 第1课时 相似三角形的性质 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 1．理解相似三角形中任何对应线段的比都等于相似比. 2．能运用相似三角形的性质解决简单问题. 3．了解三角形重心的概念和重心分每一条中线成1∶2的两条线段的性质. 已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？ A C B B′ A′ C′ 从对应边上看： __________________ 从对应角上看：____________________ 两个三角形相似，除了对应边成比例、 对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？ 在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、角、周长、面积这些量中，被放大了多少倍？ 学习完本课时内容，我们就能回答这个问题. 知识点 相似三角形对应线段的性质 1 △ABC∽△A′B′C′,相似比为k， AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、 A′D′之间有什么关系？ 为什么？ 由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比 变化一：如果把对应的高改为对应边上的中线？ 变化二：如果把对应的高改为对应角的角平分线？ 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为，AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的一条中线. 求AD与A′D′的比. 例1 解：如图. ∵， ∴. ∵AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′中BC， B′C′边上的中线，∴. 又∵∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴. 例2 如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为. 求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比. 解：∵△A′B′C′∽△ABC， ∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC. ∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线， ∴∠B′A′D′=，∠BAD=， ∴∠B′A′D′=∠BAD， ∴△A′B′D′∽△ABD(有两个角对应相等的两个三角形相似)，∴. 根据相似三角形的定义，我们可得到相似三角形的两个基本性质： 相似三角形对应高的比等于相似比， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 已知：如图，BD，CE是△ABC的两条中线， P是它们的交点. 求证：. 例3 证明：如图，连结DE. ∵BD，CE是△ABC的两条中线， ∴DE BC. ∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB， ∴△DEP∽△BCP. ∴. 总结 例2中，如果再作BC边上的中线， 这条中线与AC边上的中线BD的交点也必定分BD成1∶2的两条线段， 也就是点P. 这就证明了三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段. D A B C F E O 重心 知识点 三角形的重心及其性质 2 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F. 若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长． 例4 解：∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠CAF， ∵∠ADG＝∠C，∴△ADG∽△ACF. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，若△ABC的重心G在DE上，则AB ∶BC＝(　　) A．3∶2 B．7∶4 C．2∶1 D．8∶5 例5 C 【分析】 H 【分析】 H 在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长，周长，面积，角，哪些放大为10倍? 答：三角形的边长放大为10倍. 三角形的周长、面积放大为多少倍？ 三角形的角大小不变. A 1． 如果两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是(　　) A．1∶4 B．1∶8 C．1∶16 D．1∶2 B 2． 两个相似三角形对应高之比为3∶1，则它们对应角平分线之比为(　　) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶4 D．1∶8 3． 【2023·温州瑞安市三模】如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为________． 4 相似三角形的性质 相似三角形的基本性质 相似三角形对应线段的比 重心的概念及性质 三角形相似的性质（1） ∵点G是△ABC的重心， ∴＝2，即AG＝2GF， ∴＝＝＝. ∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB，∴＝. ∵＝，AE＝6，∴AB＝AE×＝6×＝9. 连结AG，并延长AG交BC于点H. ∵G是△ABC的重心，∴AH是△ABC的中线，且＝2. ∵ED∥BC