4.5.2 相似三角形的周长比和面积比课件-2023-2024学年浙教版九年级上册数学

第4章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用 第2课时 相似三角形的周长比和面积比 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 1．理解并掌握相似三角形周长之比等于相似比和面积之比等于相似比的平方的性质. 2．能运用相似三角形的有关性质解决简单问题. 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米. 现在的问题是：被削去的部分面积有多大？ 它的周长是多少？ B A C D E 30 18 知识点 相似三角形的周长比和面积比 1 任意画两个相似三角形，选择合适的方法探索下面的问题： (1)这两个三角形的周长之比与相似比有什么关系？ (2)这两个三角形的面积之比与相似比有什么关系？ 3 4 5 6 8 10 3 4 5 6 8 10 相似比 ； . ； A B C A’ B’ C’ 已知:△ABC∽△A´B´C´，相似比为k. =k2 求证: △ABC的周长 △A’B’C’的周长 =k s△ABC s△A´B´C´ 验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 你能加以证明吗？ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴AB=kAB，BC=kBC，CA=kCA， ∴ 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. 求证：，. A B C A′ B′ C′ 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. 求证：，. A B C A′ B′ C′ 如图，分别作△ABC，△A′B′C′的BC， B′C′边上的高线AD，A′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′（相似三角形的对应角相等）. ∵AD，A′D′分别是BC， B′C′边上的高线， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°， D D′ ∴△ABD∽△A′B′D′（有两个角对应相等的 两个三角形相似）， ∴， ∴ 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. 求证：，. A B C A′ B′ C′ D D′ 如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： (1). (2)△ADE与△ABC的周长之比. (3)△ADE与△ABC的面积之比. 做 如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： (1). 解：在△ABC和△ADE中， ∵∠CAB=∠EAD（公共角）， ∠B=∠ADE（已知），∴△ABC∽△ADE. ∵AB=5，AD=3，∴△ABC与△ADE的相似比是5:3. ∵AG，AF分别是BC和DE边上的高线， ∴（相似三角形对应高线长之比等于相似比）. 如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： (2)△ADE与△ABC的周长之比. (3)△ADE与△ABC的面积之比. 解： △ADE与△ABC的周长之比是3:5 （相似三角形的周长之比等于相似比）. △ADE与△ABC的面积之比是 9:25（相似三角形的面积之比等于相似比的平方）. 相似三角形的周长之比等于相似比； 相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 相似三角形的周长和面积有以下性质： A B C A’ B’ C’ 两个相似三角形的对应高之比等于相似比。 类似地，相似三角形对应中线的比与对应角平分线的比也等于相似比。 D D´ 例1 如图是某市部分街道图，比例尺为1:100 000. 请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积. 解：地图上的比例尺为1:100 000，就是地图上的△ABC与 实际三角形地块的相似比为. 量得地图上AB=2.7 cm，BC=3.0 cm， AC=2.0 cm， 则地图上△ABC的周长为2.7+3.0+2.0=7.7(cm). ∵， ∴三角形地块的实际周长为7.7×105 cm，即7.7 km. 量得BC边上的高线长为1.8 cm， ∴地图上△ABC的面积为(cm2). ∵²， ∴三角形地块的实际面积为2.7× cm2，即2.7 km². 答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7 km， 实际面积为2.7 km². 如图，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于点 D，AD=4，求△A′B′C′的面积. 【分析】 利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解. 例2 解：S△ABC= BC·AD= ×6×4=12. ∵△ABC∽△A′B′C′，∴= 2， 即=