4.1.3 比例中项与黄金分割课件-2023-2024学年浙教版数学九年级上册

第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第3课时 比例中项与黄金分割 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 了解比例中项和黄金分割的概念，会求已知线段的比例中项，能利用黄金分割进行简单的计算. 通过动手找到黄金分割点与制作图形，认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史的作用. 美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618. 许多美的图案都与0.618这个比值有关. 你知道0.618这个比值的来历吗？ 知识点 比例中项 1 已知a=2，b=2，c=，算一算，b2=ac成立吗？a，b，b，c这四个数是否成比例？ ∵b2=（2）2=12， ac=2×=12， ∴b2=ac成立， ∴， ∴a，b，b，c这四个数成比例. 一般地，如果三个数a，b，c满足比例式(或a∶b=b∶c)，那么b就叫做a，c的比例中项. b2=ac . 再写出三个数，使它们满足的条件. （请与你的同伴交流） 1.1是不是和的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式. 2.已知线段a=3，b=27，求a，b的比例中项线段. ∶1=1∶ . 设a，b的比例中项线段为x，则， 即x2=ab，所以x2=3×27=81. 所以x1=9，x2=－9（舍去）. 所以线段a，b的比例中项线段长为9. 是. 要点提醒 当a，b，c表示实数时， 由b2=ac，得b=； 当a，b，c表示线段长度时， 由b2=ac ，得b=. 知识点 黄金分割及其应用 2 如图是意大利著名画家达·芬奇 (da Vinci，1452~1519年)的名画 《蒙娜丽莎》. 画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF为正方形. 量一量点F到点A，B的距离. 与相等吗？ . . . A P B 如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞PB，且，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比. 例如，左图中，，它们都是黄金比，又因为BC=BF，所以矩形ABCD的宽与长之比也是黄金比. 思考：如何应用一元二次方程的知识求出黄金比的数值? 如图，设=x， 则PB=AB－AP=AB－AB·x. 由，得，即. 化简，得x2+x－1=0. 解得（不合题意，舍去）. 所以. A P B 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面. 古代希腊的帕特农神庙 右图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比. 有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618. 例1 如图，已知线段AB=，点P是它的黄金分割点， AP＞PB. 求AP，BP的长. A P B 解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， ∴， ∴， . 上海东方明珠电视塔高468m，上球体是塔身的黄金分割点，它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)? 468m ? 468×0.618≈289.2m 特别提醒 若矩形的宽与长的比约为0.618,这样的矩形称之为黄金矩形. 如图，在黄金矩形ABCD中， (1)作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上； (2)分别量出矩形BDFE的边BE、BD的长度，它们的 比值是否约等于0.618？ 重复这个过程，你能探索、归纳出 黄金矩形的有关性质吗？ 请与同学交流。 A B C D E F D C A B E ☆再作∠C的平分线，交BD于E， △CDE也是黄金三角形…… D ☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形 ☆点D是线段AC的黄金分割点. C A D E B F H G M N 如图，正五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等. 找找看，图中是否有黄金三角形? 如图①是一个杯子的示意图，厂方为了美化杯子，决定在表面上刻一点装饰花，当装饰花刻在什么位置时，给人的视觉才是最美的？ 请你确定刻花的位置. 例2 【分析】 确定给人视觉最美的点，就是确定黄金分割点. 解：如图②. (1)过点B作BC⊥AB，使BC=AB. (2)连结AC，在AC上截取CD=CB. C D B A ② C D E F B A ② (3)在AB上截取AE=AD，则点E即为刻花的位置； 也可以在AB上截取BF=AD，则点F也可以为刻花 的位置. 技巧提醒 在求解与黄金分割有关的问题时，一定要牢记“一条线段有2个黄金分割点”. 1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给