2024年高考数学导数及其应用达标练习

2024年高考数学导数及其应用达标练习 一、单选题 1．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线与曲线的公共点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 4．函数的导数为，则的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 二、多选题 9．已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．在处取得极小值 D．若，则 10．已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（    ） A． B．（为的二阶导数） C． D．是函数的极大值点 三、填空题 12．定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 13．定义“”表示不等式有个正整数解，若且，则的最大值是 ．（参考数据：，） 14．已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)设的图象在点处的切线与的图象相切，求的值． 16．已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为. (1)若函数，求的单调区间； (2)当时，求的取值范围. 17．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 18．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解. 19．已知． (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解. 【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切. 设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即， 故需使. 由可得，解得. 故选：A 2．B 【分析】联立方程后构造函数，求导判断单调性，结合可得,即可求导结合点斜式求解切线方程，进而可得求解切线与坐标轴的交点，即可求解面积. 【详解】由得， 设，则,故为增函数， 因为，所以方程的解为，所以点的横坐标为. 设，则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得；令，得.所以所求三角形的面积为. 故选：B 3．D 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数，求导得， 切线方程化成斜截式为， 由题设知，显然，即， 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或， 即或，解得或. 故选：D. 4．C 【分析】对函数求导可得，再由函数奇偶性可排除BD选项，再由余弦函数图象性质可知C选项符合题意. 【详解】根据题意可得， 易知的定义域为，且满足， 即可得为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD； 利用余弦函数图象性质可知，当时，，该部分图象在轴的上方，可排除A， C选项符合题意. 故选：C 5．C 【分析】观察，构造函数，利用导数的四则运算得到，代入即可得解. 【详解】设， 则，故， 所以 . 故选：C. 6．D 【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可求解A，构造函数，求导即可判断C,构造函数即可求解B，根据指数以及对数的性质即可求解D. 【详解】令且，则，故在上递减， 又，所以，A错误； 令且，则， 所以上，递减，上，递增， 而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误； 令且，则，故在上递增， 又，所以，B错误； 由于，所以，故,D正确， 故选：D． 7．D 【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解. 【详解】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为. 故选：D. 8．A 【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作