3.3.2 垂径定理的推论课件-2023-2024学年浙教版数学九年级上册

第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第2课时 垂径定理的推论 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 经历探索垂径定理的推论的过程，掌握垂径定理的推论． 学会运用垂径定理的推论解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． · r 我国历史上著名的赵州桥建于隋大业(公元605~618)年间，桥长64.40m，是现存世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥. 你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？ 知识点 垂径定理的逆定理 1 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. · C A D B P O 反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？ 平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？ 请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半径的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD (不是直径). 探索一 A O C D ①找到弦CD的中点E； ②过点E作⊙O的直径MN； ③测量∠MED的度数. E M N ∠MED=90°，即MN⊥CD. 如果弦CD是直径呢？ 当弦CD是直径时，平分弦的直径不一定垂直于这条弦. O C D M N M1 N1 M2 N2 垂径定理的推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言： ∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是直径，且 AE=BE， ∴CD⊥AB， ， . · C A D B E O 你能对垂径定理的推论1进行证明吗？ 解： 已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. 求证：CD⊥AB， . · D A C B P O 证明：连结OA，OB. 则AO=BO. ∴△AOB是等腰三角形， ∵PA=PB， ∴ CD⊥AB ， ∴ (垂直于弦的直径平分弦所对的弧). · D A C B P O 请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半径的圆，在⊙O上任意找出一段弧CD，连结CD. A O C D ①找到弧CD的中点E； ②过点E作⊙O的直径EF，交弦CD于点P； ③测量∠FPD的度数. ∠FPD=90°，即EF⊥CD. E F P 探索二 垂径定理的推论2： 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 几何语言： ∵在⊙O中， ，CD是直径， ∴CD⊥AB， AE=BE. · C A D B E O 你能对垂径定理的推论2进行证明吗？ 解：已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB于点P， . 求证：CD⊥AB，AP=BP. 证明：如图，当时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则与重合. · D A C B P O 所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB，这就证明了推论2. 比较垂径定理、推论1、推论2的条件和结论， 你发现了什么？ 垂径定理及其推论可以看成由五个事项构成： ①两条弦互相垂直； ②一条弦经过圆心； ③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧； ⑤平分弦所对的另一条弧. 这五个事项中，已知其中任意两个，必然能推出其余的三个. 例1 已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.1m)． 知识点 垂径定理推论的实际应用 2 解：如图，用表示桥拱圆弧， 设所在圆圆心为O，半径为R(m). C为的中点，连结OC，交AB于 点D，就有OC垂直平分AB. 所以CD就是拱高. R A B D O C 由题意，得 AB=37.02m，CD=7.23m， ∴AD=AB=×37.02=18.51(m)， OD=OC－DC=(R－7.23) (m)， 在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2， ∴R2=18.512+(R－7.23)2， 解这个方程，得R≈27.3. 答：赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3 m. R A B D O C 如图，武汉晴川桥可以近似地看成半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，桥拱正下方的路面AB长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为(　　) A．50 m B．45 m C．40 m D．60 m A 例2 【分析】 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. · A B O C D E 某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？ 例3 2 1.5 解：如图所示：连结OA，作OC⊥AB， 假设一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧 道，此时OC=3-2=1，