2024年辽宁新中考数学专题针对练习——几何综合题（新考点）

2024辽宁新中考数学专题针对练习——几何综合题（新考点） 1．(2024.葫芦岛连山区模拟)【问题初探】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF． 小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：如图2，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，构造△DGC…； ②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点B作BG∥AC交AD延长线于点G，于是得到△BDG…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等边△ABC中，D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕若D顺时针旋转120°得到DE，连接BE，取BE中点F，连接DF，猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图5，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是斜边BC上的一点，且BD＜CD，连接AD，将线段AD绕D点顺时针旋转90°，得到线段DE，连接线段BE，点F为线段BE的中点，连接DF．若∠CDE＝15°，DF，求线段CD的长度． 2．（2024.河南省洛阳市模拟）综合与实践 【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由． 【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题； 【深入探究】：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝6，AC＝8，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果． 3．（2024.大连市金州区模拟）【提出问题】 △ABC是等边三角形，点D为BC边上一点（不与点B重合），过点D作DE⊥AB垂足为E，∠ABC的平分线BG交DE于点G，连接AD，取AD的中点F，连接FG，CF，CG，探究△CFG的形状． 【特例感知】 （1）如图1，当点D与点C重合时，∠CFG＝　 　°，∠CGF＝　 　°； （2）如图2，当点D为BC边中点时，小丽以D为原点，BC，AD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设点C的坐标为（6，0）．小丽想先求出点F和点G的坐标，再利用两点间距离公式计算出△CFG三边的长度进而确定△CFG的形状，请直接写出点F和点G的坐标，并按照小丽的思路求出∠CFG和∠CGF的度数；（A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离为AB） 【问题解决】 （3）如图3，当点D为BC边上不与端点重合的任意一点时．求证：∠CFG＝90°，∠CGF＝60°． 4．（2024.大连市甘井子区模拟）【问题呈现】 如图1，正方形ABCD的边长为a，对角线AC，BD交于点O，E为AD上任意一点，射线OE绕点O逆时针旋转90°后交AB于点F，连接EF交AO于点G． 【问题发现】 小明发现∠AFO＝∠OED，小红发现∠AFO＝∠AGE，小聪发现△OEF的面积存在最小值．经过讨论，全班同学一致认为他们的发现都是正确的． （1）请你证明∠AFO＝∠OED． （2）直接写出△OEF面积的最小值是 　 　.（用含a的式子表示） 【问题探究】 爱思考的小强将问题进行了拓展，如图2，将上题中的“正方形ABCD中”改为“菱形ABCD中，∠BAD＝60°”，将“逆时针旋转90°”改为“逆时针旋转120°”．其它条件不变，依然可以得到上题中的三个结论． （3）请你在图2中证明∠AFO＝∠AGE． 【问题延伸】 经历上述学习过程，数学科代表小敏对问题进行了如下的总结：在菱形ABCD中，边长为a，∠BAD＝α°，对角线AC，BD交于点O，如图3所示，若E为AD上任意一点，射线OE绕点O逆时针旋转一定的角度后交AB于点F，连接EF交AO于点G．上题中的三个结论依然成立． （4）请你直接写出这个旋转的最小角度是 　 　； （5）△OEF面积的最小值是 　 　（用含a和α的式子表示）． 5．（2024.沈阳市联合体）【问题提出】 在数学活动课上，