5.4.1二项式定理课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

二项式定理 第五章　4.1　二项式定理的推导 上课，同学们好，今天我们所学的内容是二项式定理 1 1.教学目标 2.探究归纳，发现规律 3.知识建构，形成定理 4.知识迁移，初步应用 5.课堂小结 目录 数学上把括号里只有两项的多项式叫做二项式，n=1的时候很普通，n=2的时候就是完全平方公式，n=3的时候可能有一些同学是知道的（可以通过多项式展开），但当n越来越大的时候，我们发现通过多项式将其展开是越来越困难的，但是许多代数问题中需要将二项式展开，于是于是我们需要研究展开后的表达式的一般结构，比如说有多少项，项的形式，项的系数等 2 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教学目标 数学上把括号里只有两项的多项式叫做二项式，n=1的时候很普通，n=2的时候就是完全平方公式，n=3的时候可能有一些同学是知道的（可以通过多项式展开），但当n越来越大的时候，我们发现通过多项式将其展开是越来越困难的，但是许多代数问题中需要将二项式展开，于是于是我们需要研究展开后的表达式的一般结构，比如说有多少项，项的形式，项的系数等 3 导语 对于等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为： 在许多代数问题中需要将二项式展开，于是我们需要研究展开后的表达式的一般结构，来快速展开二项式 数学上把括号里只有两项的多项式叫做二项式，n=1的时候很普通，n=2的时候就是完全平方公式，n=3的时候可能有一些同学是知道的（可以通过多项式展开），但当n越来越大的时候，我们发现通过多项式将其展开是越来越困难的，但是许多代数问题中需要将二项式展开，于是于是我们需要研究展开后的表达式的一般结构，比如说有多少项，项的形式，项的系数等 4 探究归纳，发现规律 思考1：为了探究的展开式，按照由特殊到一般的方法，可以先研究的情况. （1）各个单项式的形式 （2）各个单项式的系数 按照由特殊到一般的方法，可以先研究的情况.通过多项式展开我们得到了他们的展开式，看看有什么异同，项数分别为2,3,4；每个单项式的形式如果都是乘以一个常数，这个常数为该项的二项式系数 5 探究归纳，发现规律 思考2：请你观察的展开式并思考： （1）展开式中的项是如何得到的？ （2）展开式中各项的系数是如何确定的？ 展开式中的每一项都是从这2个(𝑎+𝑏)中各任取一个字母相乘得到的 接下来我们看到的展开式并思考每一项的具体是如何得到的，系数是如何确定的，（按照多项式的展开），展开式的每一项都是从这2个(𝑎+𝑏)中个任取一个字母相乘得到的，包括同类项的项数事实上是有4项，系数是由同类项的个数得到的，那么现在我们可不可以由计数原理来解释一下这个过程 6 探究归纳，发现规律 思考2：能否用计数原理解释每一组系数与项数？ 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 项 系数 有可能有三种项，每一项都是从这2个(𝑎+𝑏)中个任取一个字母相乘得到的，分步从两个括号里各取出一个字母组成一项，要注意取a的同时不能取b，所以组成每一种项的取法是什么？第一种：都不取b；第二种：取一个b；第三种：取2个b； 7 探究归纳，发现规律 思考3： 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 系数 项 取 三 个 b 8 探究归纳，发现规律 思考4: 通过刚才的推导方式，对于是否适用，若适用，请尝试写出各项? 知识建构，形成定理 思考5：请按照上述的方法与规律，的展开式。 知识建构，形成定理 二项式定理 的二项展开式 展开式的通项 展开式的第 系数 知识建构，形成定理 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出：两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。 知识建构，形成定理 思考6：（1）展开式有多少项？ （2）每项次数是多少？ （3）展开式中的次数排列规律分别是什么？ （4）二项式系数是多少？ （5）通项是展开式的第几项？ 字母按降幂排列，字母按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数； 第 每项次数和为 知识建构，形成定理 思考7：小组讨论，尝试写出的展开式。 知识迁移，初步应用 例1. 求 的展开式。 解 分析 知识迁移，初步应用 例2. 求 的展开式的第三项、二项式系数、项的