1.4.1 利用二次函数解决几何图形面积最值问题课件-2023-2024学年浙教版九年级上册数学

第1章 二次函数 1.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决 几何图形面积最值问题 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 1．经历数学建模的基本过程。 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 重点：二次函数在最优化问题中的应用 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ x米 (4－x)米 解：设窗框的一边长为x m，则另一边的长为(4－x) m， 设该窗框的透光面积为y m2，那么：y= x(4－x)且0＜ x＜4. 即：y=－x2＋4x. 又：－1＜0， 则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值. 而图像的对称轴为直线x=2，且 0＜ 2＜4， 所以由求最值公式可知，当 x=2时， 该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2 m时， 透光面积达到最大的4 m2. x米 (4－x)米 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？在何处取得最大值或最小值？最大值或最小值是多少？ 当a＜0时，函数有最大值， 当x时，y达到最大值：； 当a＞0时，函数有最小值， 当x时，y达到最小值：. 应用二次函数的性质解决日常生活中的最值问题，一般的步骤如下： ①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）； ③在自变量的取值范围内求出最值（数形结合找最值） ； ②求出函数解析式（包括自变量的取值范围）； ④答. 例1 如图，窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形. 如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6 m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大(结果精确到0.01 m)？ 解题秘方：运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值. 注意 由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 知1－练 知1－练 解：设半圆的半径为x m，窗框矩形部分的另一边长为y m，根据题意，有5x+πx+2x+2y=6， 即y=3－(π+7)x. ∵ y＞0，∴ 3－ (π+7)x＞0 . 解得0＜x＜ . x y ∴S= x2+2xy= x2+2x[3-(π+7)x]= (--7)x2+6x (0＜x＜). ∵a=(－ －7) ＜0，b=6，c=0， 又∵ x=，且在0＜ x＜的范围内， ∴当≈0.35时，S最大值= ≈1.05. 此时，y≈1.23. 答：当窗户半圆的半径约为0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为 1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m². 如图，在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1 m，则阴影部分的面积有(　　) A．最小值247 m2 B．最小值266 m2 C．最大值247 m2 D．最大值266 m2 A 例2 【分析】 设小径的宽为x m，阴影部分的面积为y m2. 由题意得，y＝(20－x)(14－x)＝x2－34x＋280＝(x－17)2－9(0<x≤1)．∴当0＜x≤1时，y随x的增大而减小． ∴当x＝1时，y有最小值， 为 (1－17)2－9＝247. ∴阴影部分的面积有最小值247 m2. 面积最值问题应该设图形一边长为 _______，所求面积为因变量，建立_________的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 ________ ． 自变量 二次函数 取值范围 方法解析 在几何图形中建立函数关系的常用方法： 面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系 . 勾股法：利用勾股定理建立函数关系 . 和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系 . 把一根长1 m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折？最大面积是多少？ 例3 解：设该矩形的长为x m，则宽为 m，若面积为y m2 ，则y=x · ，(0＜x＜). ∵y=x · =-(x-)2+， ∴当x= 时，y有最大值为. 答：应将矩形的长和宽折成一样长，最大面积是m2. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 例4 (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 1． 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔