精品解析：上海市市北中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023学年市北中学第二学期高二年级数学期中考试试卷 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 点到直线的距离是__________. 2. 若，则__________. 3. 已知直线和，若，则__________. 4. 双曲线的渐近线方程为______. 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 6. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________. 7. 已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是__________. 8. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为__________． 9. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________. 10. 若函数满足，则__________. 11. 函数的严格递减区间是__________. 12. 设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是___________. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是 A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心 14. 已知函数，下列判断正确是（　　　　） A. 在定义域上为增函数 B. 在定义域上为减函数 C. 在定义域上有最小值,没有最大值 D. 在定义域上有最大值,没有最小值 15. 对于双曲线和，给出下列四个结论： （1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等， 其中正确结论是（ ） A. （1）（2）（4） B. （1）（3）（4） C. （2）（3）（4） D. （2）（4） 16. 若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑． （1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程； （2）求支柱的长度（精确到0.01米）． 18. 某个弹簧振子在振动过程中位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. （1）求的导数； （2）计算，并解释它的实际意义. 19. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， （1）求三角形外心的坐标； （2）求顶点的坐标. 20. 已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆左､右焦点. （1）求椭圆的离心率； （2）若点A的横坐标为2，求的长. （3）设上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 21. 已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求四边形周长的最小值； （3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年市北中学第二学期高二年级数学期中考试试卷 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意代入点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：到直线的距离是. 故答案为：. 2. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的定义直接求解即可. 【详解】根据导数的定义：， 因为，所以. 故答案为： 3 已知直线和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案. 【详解】直线和，， 则，解得. 故答案为：. 4. 双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由双曲线方程可得，由此可得渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知：， 渐近线方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查由双曲线方程求解渐近线方程的问题，属于基础题. 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出和