8.2.2 第2课时(最小二乘估计的应用) 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第二课时 (最小二乘估计的应用) 一、知识回顾 将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的 叫做b、a的最小二乘估计. 其中 问题 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和 世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m 世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 二、探究新知 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 纪录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到下图. 散点看上去大致分布在一条直线附近,似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 二、探究新知 将经验回归直线叠加到散点图,得到下图. 用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型 来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为 =0.02033743t+49.76913031 ① 二、探究新知 以经验回归直线为参照,可以发现经验回归方程的不足之处,以及散点的更为精细的分布特征.例如,第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线,并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方,中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律,即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 从上图中可以看到,经验回归方程 较好地刻画了散点的变化趋势.请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗? =0.02033743t+49.76913031 二、探究新知 你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗? 仔细观察上图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.回顾已有的函数知识,可以发现函数的图象具有类似的形状特征.注意到短跑的第一个世界纪录产生于1896年,因此可以认为散点是集中在曲线 的周围，其中c1和c2为未知的参数,且c2<0. 二、探究新知 为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，我们引进一个中间变量x，令x=In(t-1895)．通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如下表所示. 用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1、c2是待定参数现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2. 如果上表对应的散点图呈现出很强的线性相关特征,我们就可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数c1和c2作出估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程. 二、探究新知 在直角坐标系中画出上表中成对数据的散点图，如下图所示，散点的分布呈现出很强的线性相关特征. 拟合上表中的成对数据，得到经验回归方程 因此,用一元线性回归模型 =0.4264398x+11.8012653 二、探究新知 再画出上式所对应的经验回归直线，得到下图. =0.4264398x+11.8012653 =0.02033743t+49.76913031 上图表明，经验回归方程 对于上表中的成对数据具有非常好的拟合精度.将上图与下图进行对比，可以发现x和Y之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多. =0.4264398x+11.8012653 二、探究新知 将x=In(t-1895)代入 ，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程 =0.4264398x+11.8012653 =0.4264398In(t-1895)+11.8012653 ② 在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色)，如下图所示.我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①. 二、探究新知 下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.在下表中，用ti表示编