2024年中考数学专题针对练——圆的证明与计算

九年级中考数学专题针对练——圆的证明与计算 一．求线段长（共4小题） 1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC． （1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝12，BE＝3，求⊙O的半径． 2．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点D．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CD的长． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝26，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD． （1）证明：DE是⊙O的切线； （2）若sin∠CDE，求DC的长． 4．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC． （1）求证：∠B＝∠ACO；（2）求CE的长． 二．求弧长（共3小题） 5．如图，点E是△ABC 的内心，AE的延长线和△ABC 的外接圆⊙O相交于点D；过点D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，．求优弧的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF；（2）若BE＝OE＝3，求的长度． 7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长． 三．求阴影部分的面积（共4小题） 8．如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D． （1）求证：CD为圆O的切线；（2）若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分的面积． 9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交AC于点E，交BC的延长线于点D，点F是DE的中点，连接CF． （1）判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若OF＝2，CF，求劣弧和弦BC所围成的阴影面积． 10．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若∠AEC＝30°，⊙O的半径为10，求图中阴影部分的面积． 11．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积． 参考答案 一．求线段长（共4小题） 1．（1）证明：∵， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠AFB＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠AFB， ∴CD∥BF， ∵CD⊥AB， ∴AB⊥BF， ∵OB为⊙O的半径． ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为R，连接OD，如图， ∵AB⊥CD，CD＝12， ∴， ∵BE＝3， ∴OE＝R﹣3， 在Rt△OED中， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴R2＝（R﹣3）2+62， 解得：． 即⊙O的半径为． 2．（1）证明：连接OC，作OE⊥PB于E点． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA． ∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OE⊥PB， ∴OE＝OC． ∴直线PB与⊙O相切； （2）解：设PO交⊙O于F，连接CF． ∵OC＝3，PC＝4， ∴PO＝5，PD＝8． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF＝∠D． 又∵∠CPF＝∠DPC， ∴△PCF∽△PDC， ∴CF：CD＝PC：PD＝4：8＝1：2． ∵DF是直径， ∴∠DCF＝90°． 设CF＝x，则DC＝2x． 则x2+（2x）2＝62， 解得x． 则CD＝2x． 3．（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即∠ADO+∠ODB＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ADO+∠ABD＝90°， ∵∠CDE＝∠ABD， ∴∠ADO+∠CDE＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠CDE＝∠ABD， ∴sin∠CDE＝sin∠ABD， 在Rt△ABD中，AB＝26，sin∠ABD， ∴OA＝OB＝13，AD＝10， 连接OC， ∵CA＝CB，OA＝OB， ∴CO⊥AB， ∴∠AOC＝90°