2024年九年级数学中考专题07---二次函数整点问题

中考专题07---二次函数整点问题 1、 已知自变量取值范围求整点个数 【解题思路】 （1） 根据函数解析式画函数图像 （2） 选取区域内为整点的横坐标，依次确定纵坐标可以取的整数点，若包含边界则需加上边界上的整点 （3） 边界上的整点确定方法：在自变量的取值范围内取整数，代入函数解析式，确定纵坐标是否为整数值 （4） 写出符合条件的整数点，确定个数 例1.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.求直线y=-x+4与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数. 例2.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=x2+2x,当-8≤x≤8时,求抛物线上整点的个数. 例3.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=x2-2,将该抛物线与x轴围成的区域(含边界)记作W,求区域W内整点的个数. 【练习】 1.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,把直线y=x与抛物线 y=x2-x-3围成的封闭区域(不包含边界)记作W,求区域W内整点的个数. 2.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.把双曲线y=与抛物线y=-x2+2x+3围成的封闭区城(包含边界)记为W,求区域W内整点的个数. 【变式】 1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-4x+3.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. (1)将该抛物线与直线y=x+1所围成的封闭区域(不含边界)记为W,求 W,内整点的个数; (2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线y,将原抛物线与新抛物线围成的封闭区域(包含边界)记为W₂,求W₂内整点的个数; (3)抛物线平移求整点将抛物线向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,得到一个新抛物线y2将新抛物线y₂与双曲线y=,直线y=3(x≤1)围成的封闭区域(不含边界)记为W3,求W3内整点的个数. 2. 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3 与x轴交于A(-1,0),B两点,且经过点C(1,4). (1)求抛物线的解析式及点B的坐标; (2)设点M(x,y)为抛物线上一点,当-3≤x≤8时,m≤y≤n,求代数式 n-m 的值; (3)(三种图象围成的区域)我们把横、纵坐标都是整数的点记为整点,抛物线与直线y=x的上方部分和反比例函数y=的图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)有多少个整点?并写出这些整点的坐标. 2、 已知整点个数求自变量取值范围 【解题思路】 (1)由二次函数解析式确定对称轴或顶点坐标; (2)取特殊点(顶点、交点、对称轴上的点),使得区域内的整点个数接近题目所给的整点个数，将特殊点代入解析式求出字母的值; (3)画出抛物线; (4)根据题干描述,大致画出封闭区域,根据抛物线的特征,移动抛物线使其满足题目所给整点的个数; (5)找临界点代入解析式中确定字母的值,结合二次函数的性质确定字母的取值范围. 例1.在平面直角坐标系x0y中,抛物线y=mx2-2mx+m-3与x轴交于点A,B.若线段AB上(包含端点)有且只有5个点的横坐标为整数,求m的取值范围. 例2.在平面直角坐标系x0y中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线y=x2-2ax+a2的顶点为A,直线y=-x+3与抛物线交于点B,C(点B在点C的左侧),抛物线与线段BC围成的封闭区域(不含边界)记为W.若区域W内有2个整点,求a的取值范围. 【练习】 1.在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线y=mx2-2mx-1(m>0)与x轴的交点为A,B,抛物线与线段AB所围成的区域记为W(不含边界).若区域W内有2个整点,求m的取值范围. 2.知抛物线y=x2-2x+m-2,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. (1)若抛物线与直线y=-x+2所围成的封闭区域W,(不含边界)内恰好有4个整点,求m的取值范围; (2)若抛物线与双曲线y=-二所围成的封闭区域 W₂(不含边界)内有2个整点,求m的取值范围; (3)将抛物线绕点M(-1,0)旋转180°,得到新抛物线y',新抛物线y'与y轴交于点C.若线段OC上的整点个数小于4,求m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$