第二章实数 平方根与算数平方根知识梳理必考题型专项课件2023-2024学年北师大版数学八年级上册

平 方 根 与 算 数 平 方 根 定义：对于式子,我们称是的平方，是的平方根。 技巧：平方与平方根是一组对立身份，简单可理解为A是B的平方，则B是A的平方根。例如9是3和-3的平方，所以我们称3和3是9的平方根 想一想：你能说出哪些数的平方根吗？从中发现了什么？ 只有正数和0才有平方根，正数有两个 平方根且两个平方根互为相反数 情境分析：已知某正方形羊圈面积为平方米，求羊圈的边长。 理论上括号中既可填7也可填-7，但从实际生活理 解，羊圈边长不可能为负数，因此最终答案为7 算数平方根：在实际生活，正的平方根应用更为广泛，我们将正数平方根也称为“算数平方根” 开平方 概念：我们求一个数的平方根的运算过程称为“开平方”，“开平方”是一种运算，它与平方互为逆运算。 例如：对16开平方得出结果4和-4 概念深化：任何一种运算都有其运算符号，开平方也不例外。 求平方根的运算符号为 求算数平方根的运算符号为 给定一个非负数，其平方根为其算数平方根为 （1）64的平方根为（2）2 （3）0.36的平方根为（4） （5）100的平方根为（6）0的平方根为 算数平方根 当堂检测 1、求下列各数的平方根 当堂检测 2、求下列各数的算数平方根 归纳小结 需要注意的是：“根号”是一个运算符号，形如、东西是一个算式，有些能算出结果要算出结果，算不出来的就保留原形式。 例：计算下列各式 4、平方根的性质应用 题型一：只有正数和才有平方根与算数平方根，负数没有。这也就意味着，对于负数，我们无法进行求平方根和求算数平方根的运算，即“”和“”里面仅能放正数和. 例1：下列各式中哪些有意义？ 例2：当有意义时，的取值范围是 . 例3：当满足 时，有意义。 例4：若有意义，则会 。 题型二：正数一定有两个平方根，并且它们互为相反数。 例1：一个正数的平方根是和，则这个正数是多少？ 例2：已知某正数的平方根是和，则该正数为( ). 题型三：解高级方程 题型四：算数平方根的非负性 立方根 与平方根的知识类似，把立方结果逆运算回去的过程称作“开立方”，开立方得到的结果称为“立方根”。 如，我们可得. 得出结果的过程就是开平方，得到的结果3就是27的立方根。 “立方”与“立方根”可以理解为一种关系：A是B的立方，B就是A的立方根。如刚刚的例子我们可以说“27是3的立方，3是27的立方根”。接下来请你们用这种方式找出下列数的立方根。 在上述的过程中，我们可以发现： （1）任何数都有立方根，但只有正数和0才有平方根。 （2）一个数的立方根是唯一的；正数的平方根不唯一，正数一定有两个平方根。 （3）一个数的立方根和这个数本身的符号一致；正数的两个平方根互为相反数。 与“开平方”同理，“开立方”也有其运算符号，记作，读作“三次根号”。“数的立方根”用数学符号语言就记作“”。 如“8的立方根”记作，“的平方根”记作 “12的立方根”记作，这个结果不为有理数，因此不用进一步计算，保留的形式即可。 综合题型一：解高级方程 简易二次方程 总结：二次方程一般会有两个解，少部分情况下只有一个解。解方程时步骤：（1）将方程化为“等号左边为某个整体的平方，等号右边为一个常数”的形式；（2）根据平方根的性质，得出整体的值；（3）根据整体的值，再求出具体的值。 简易三次方程 题型2：估算 某些数的平方根我们无法算出确切答案，但可以估计其范围。 如探究“”的范围：我们可以知道。因为，则.由此得出1~2间的一个数，其整数部分为1. 试一试： 【变式训练1】如图，半径为1的圆上有一点P落在数轴上表示的点处，若将圆沿数轴向左滚动一周后，点P所处的位置在两个连续的整数m，n之间，则的值为 ． 【变式训练2】（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，是的小数部分． (1)求，，，的值； (2)求的平方根． ． 【阅读理解】已知是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差即小数部分．根据所获信息，解答下列问题． (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)若的整数部分是，小数部分是． ①填空：________； ②如图，若面积为的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数． 算数平方根的双重非负性 算一算，你发现了什么？能联想到之前的哪个知识点吗？ 总结： 对于任何数,都有吗？什么情况下会成立呢？ 当 当 结束咯 $$