因数与倍数（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

因数与倍数 知识导航 1.因数、倍数概念：如果ａ×ｂ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃ都是不为０的整数）我们就说ａ和ｂ都是ｃ的因数ｃ是ａ的倍数也是ｂ的倍数。倍数和因数是相互依存的。 ２.一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 ３．２、３、５倍数的特征。 （１）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是２的倍数，是２的倍数的数叫做偶数；不是２的倍数的数叫做奇数。 （２）３的倍数的特征：一个数各位数上的和是３的倍数这个数是３的倍数。 （３）个位上是０、５的数都是５的倍数。 ４．质数和合数。 （１）一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。最小的质数是２。 （２）　一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。最小的合数是４，合数至少有三个因数。 （３）１既不是质数，也不是合数。 ５．质因数和分解质因数。 （１）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 （２）　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：３０＝２×３×５ ６．最大公因数和最小公倍数。 （１）　几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 （２）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 ７．互质数：公因数只有１的两个数，叫做互质数。 【精典例题1】 求300的因数的个数。 思路导航：先把300分解质因数，写成一般形式，然后把相同的质因数的个数加1后再相乘，所得的积就是300的因数的个数。 300=3×2×5×2×5=22×52×3 300的因数的个数有（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（个） 【精典例题2】 求120的所有因数的和。 思路导航：先把120分解质因数，写成一般形式，然后把仅含一个质因数的全部因数相加，再把这些和相乘，积就是120所有因数的和。 120=2×2×3×2×5=23×3×5 120的所有因数的和是 （1+2+22+23）×（1+3）×（1+5）=360 小试身手 1. 求180的因数的个数，并求所有因数的和？ 2. 小于200且大于15个因数的自然数是多少？ 3. 一个自然数，各位是0，它共有8个因数，这个自然数最小是多少？ 【精典例题3】 用一个数去除30，60，75都能整除，这个数最大是多少？ 思路导航：因为要求的数去除30，60，75都能整除，所以要求的数是30，60，75的公因数，要求符合条件的最大的数就是求30，60，75的最大公因数。 可以利用短除式求解 答：30，60，75的最大公因数是15. 一个数用3，4，5除都能整除，这个数最小是多少？ 由题意可知，要求的数是3，4，5的最小公倍数。 3×4×5=60 答：用3，4，5除都能整除的最小的数是60。 小试身手 1. 用一个数去除30，60，45都能整除，这个数最大是多少？ 2. 一个数用5，12，30除都能整除，这个数最小是多少？ 3. 有一堆橘子，按每4个一堆，每5个一堆，每6个一堆分都能刚好分完，这堆橘子至少有多少个？ 【精典例题4】 一张长方形的纸，长9分米，宽7分米5厘米，现在要把它截成一块块正方形，而且正方形的边长为整厘米数，有几种截法？如果要使正方形的边长最大，可以截多少块？ 思路导航：7分米5厘米=75厘米，9分米=90厘米 因为截成的正方形的边长必须能同时整除90和75，所以它的边长必须是90和75的公因数，75和90的公因数有1，3，5，15，所以有4种截法。 要是正方形的面积最大，边长必须最大，75和90的最大公因数是15，所以边长是15厘米。 解：75和90的公因数有1，3，5，15。 正方形的面积最大时，边长为15。 （75÷15）×（90÷15）=30（块） 答：有四种截法，正方形面积最大时能截成30块。 小试身手 1.把长120厘米，宽80厘米的长方形截成面积相等而且最大的正方形，可以截成多少块？ 2.？一块长180厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，如果锯成尽可能大的正方体木块（不余料），能锯多少块？ 3.一个社区要铺设78米长的地下排水管道。现在有两种长度的水泥管子可选择：一种是3米长的，一种是5米长的，两种水管各用了多少根？ 【精典例题5】 加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，三道工序各需要多少名工人？ 思路导航：要使每道工序不产生积压或等待，必须使每道工序在相同的时间内生产出相同的零件个数，那么相同的零件个数是6，10，